题目
[题目]设 f(x)= { ,xneq 0 0,x=0, . 求f`(x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数，当 x ≠ 0 时
当 x ≠ 0 时，函数 f(x) = x^2 * sin(1/x)。根据乘积法则，我们有：
f'(x) = (x^2)' * sin(1/x) + x^2 * (sin(1/x))'
步骤 2：计算导数
(x^2)' = 2x，(sin(1/x))' = cos(1/x) * (-1/x^2)。因此，f'(x) = 2x * sin(1/x) + x^2 * cos(1/x) * (-1/x^2)。
步骤 3：化简导数
f'(x) = 2x * sin(1/x) - cos(1/x)。
步骤 4：求导数，当 x = 0 时
当 x = 0 时，函数 f(x) = 0。根据导数的定义，我们有：
f'(0) = lim(x->0) (f(x) - f(0)) / (x - 0) = lim(x->0) (x^2 * sin(1/x) - 0) / x = lim(x->0) x * sin(1/x)。
步骤 5：计算导数
由于 |sin(1/x)| ≤ 1，所以 |x * sin(1/x)| ≤ |x|。当 x -> 0 时，|x| -> 0，因此 f'(0) = 0。
当 x ≠ 0 时，函数 f(x) = x^2 * sin(1/x)。根据乘积法则，我们有：
f'(x) = (x^2)' * sin(1/x) + x^2 * (sin(1/x))'
步骤 2：计算导数
(x^2)' = 2x，(sin(1/x))' = cos(1/x) * (-1/x^2)。因此，f'(x) = 2x * sin(1/x) + x^2 * cos(1/x) * (-1/x^2)。
步骤 3：化简导数
f'(x) = 2x * sin(1/x) - cos(1/x)。
步骤 4：求导数，当 x = 0 时
当 x = 0 时，函数 f(x) = 0。根据导数的定义，我们有：
f'(0) = lim(x->0) (f(x) - f(0)) / (x - 0) = lim(x->0) (x^2 * sin(1/x) - 0) / x = lim(x->0) x * sin(1/x)。
步骤 5：计算导数
由于 |sin(1/x)| ≤ 1，所以 |x * sin(1/x)| ≤ |x|。当 x -> 0 时，|x| -> 0，因此 f'(0) = 0。