用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能把钉子敲入1.00cm。如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同，那么第二次敲入深度为( )A. 0.41cmB. 0.50cmC. 0.73cmD. 1.00cm

本题考查动能定理在变力做功中的应用，关键在于理解钉子所受阻力与深度成正比时的做功计算。解题核心思路是：

1. 两次敲击动能相同，因为锤子速度相同；
2. 阻力是线性变化的，需通过积分计算总功；
3. 建立方程求解第二次位移，通过二次方程得出结果。

建立模型

设钉子进入木板的深度为$x$，阻力$f = kx$（$k$为比例常数）。第一次敲入深度$x_1 = 1.00\ \text{cm}$，第二次敲入深度$x_2$，总深度为$x_1 + x_2$。

第一次敲击

锤子的动能转化为克服阻力的功：
$W_1 = \int_0^{x_1} kx \, dx = \frac{1}{2}k x_1^2$

第二次敲击

第二次敲击时，钉子从$x_1$移动到$x_1 + x_2$，所做功为：
$W_2 = \int_{x_1}^{x_1 + x_2} kx \, dx = \frac{1}{2}k \left[(x_1 + x_2)^2 - x_1^2\right]$

能量守恒

两次敲击动能相同，故$W_1 = W_2$：
$\frac{1}{2}k x_1^2 = \frac{1}{2}k \left[(x_1 + x_2)^2 - x_1^2\right]$

解方程

化简方程：
$x_1^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1^2 \\ x_1^2 = 2x_1x_2 + x_2^2 \\ x_2^2 + 2x_1x_2 - x_1^2 = 0$

用求根公式解得：
$x_2 = x_1(\sqrt{2} - 1) \approx 0.414x_1$

代入$x_1 = 1.00\ \text{cm}$，得$x_2 \approx 0.41\ \text{cm}$。