题目
设(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)=g(x)h(y),其中g(x)geq0,h(y)geq0,a=int_(-infty)^+inftyg(x)dx,b=int_(-infty)^+inftyh(y)dy存在且不为0，则X与Y的概率密度f_x(x),f_y(y)分别为（）A. g(x),h(y)B. ag(x),bh(y)C. bg(x),ah(y)D. g(x),abh(y)
设$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)=g(x)h(y)$,其中$g(x)\geq0,h(y)\geq0,a=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx,b=\int_{-\infty}^{+\infty}h(y)dy$存在且不为0，则$X$与$Y$的概率密度$f_x(x),f_y(y)$分别为（）
A. $g(x),h(y)$
B. $ag(x),bh(y)$
C. $bg(x),ah(y)$
D. $g(x),abh(y)$
题目解答
答案
C. $bg(x),ah(y)$
解析
步骤 1：计算 $X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)$
根据边缘概率密度函数的定义，$X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 可以通过关于 $Y$ 对联合概率密度函数 $f(x, y)$ 进行积分得到。即：
\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dy = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)h(y) \, dy. \]
由于 $g(x)$ 与 $y$ 无关，可以将其提出来，得到：
\[ f_X(x) = g(x) \int_{-\infty}^{+\infty} h(y) \, dy. \]
根据题目条件，$b = \int_{-\infty}^{+\infty} h(y) \, dy$，因此：
\[ f_X(x) = g(x) b. \]
步骤 2：计算 $Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)$
同样地，$Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)$ 可以通过关于 $X$ 对联合概率密度函数 $f(x, y)$ 进行积分得到。即：
\[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)h(y) \, dx. \]
由于 $h(y)$ 与 $x$ 无关，可以将其提出来，得到：
\[ f_Y(y) = h(y) \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \, dx. \]
根据题目条件，$a = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \, dx$，因此：
\[ f_Y(y) = h(y) a. \]
根据边缘概率密度函数的定义，$X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 可以通过关于 $Y$ 对联合概率密度函数 $f(x, y)$ 进行积分得到。即：
\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dy = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)h(y) \, dy. \]
由于 $g(x)$ 与 $y$ 无关，可以将其提出来，得到：
\[ f_X(x) = g(x) \int_{-\infty}^{+\infty} h(y) \, dy. \]
根据题目条件，$b = \int_{-\infty}^{+\infty} h(y) \, dy$，因此：
\[ f_X(x) = g(x) b. \]
步骤 2：计算 $Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)$
同样地，$Y$ 的边缘概率密度函数 $f_Y(y)$ 可以通过关于 $X$ 对联合概率密度函数 $f(x, y)$ 进行积分得到。即：
\[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)h(y) \, dx. \]
由于 $h(y)$ 与 $x$ 无关，可以将其提出来，得到：
\[ f_Y(y) = h(y) \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \, dx. \]
根据题目条件，$a = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \, dx$，因此：
\[ f_Y(y) = h(y) a. \]