题目
微分方程 ^m=y'+x 的通解为 () 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的微分方程 ${y}^{m}=y'+x$ 是一个一阶线性非齐次微分方程，其中 $y'$ 表示 $y$ 对 $x$ 的导数。方程可以重写为 $y' - y = -x$。
步骤 2：求解齐次方程
首先，我们求解对应的齐次方程 $y' - y = 0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得到 $\frac{dy}{y} = dx$。积分两边得到 $\ln|y| = x + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，齐次方程的通解为 $y = Ce^x$，其中 $C$ 是任意常数。
步骤 3：求解非齐次方程
接下来，我们使用常数变易法求解非齐次方程 $y' - y = -x$。假设非齐次方程的解为 $y = u(x)e^x$，其中 $u(x)$ 是待定函数。将 $y = u(x)e^x$ 代入原方程，得到 $u'(x)e^x = -x$。解这个方程得到 $u(x) = -\frac{1}{2}x^2 - x + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，非齐次方程的通解为 $y = (-\frac{1}{2}x^2 - x + C)e^x$。
步骤 4：整理通解
将 $y = (-\frac{1}{2}x^2 - x + C)e^x$ 展开，得到 $y = Ce^x - \frac{1}{2}x^2e^x - xe^x$。由于 $Ce^x$ 是齐次方程的通解，我们可以将 $C$ 重新定义为 $C_1$，得到 $y = C_1e^x - \frac{1}{2}x^2e^x - xe^x$。为了得到最终的通解，我们注意到 $-\frac{1}{2}x^2e^x - xe^x$ 可以写成 $-\frac{1}{2}x^2 - x$ 乘以 $e^x$，因此最终的通解为 $y = C_1e^x - \frac{1}{2}x^2 - x + C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
给定的微分方程 ${y}^{m}=y'+x$ 是一个一阶线性非齐次微分方程，其中 $y'$ 表示 $y$ 对 $x$ 的导数。方程可以重写为 $y' - y = -x$。
步骤 2：求解齐次方程
首先，我们求解对应的齐次方程 $y' - y = 0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得到 $\frac{dy}{y} = dx$。积分两边得到 $\ln|y| = x + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，齐次方程的通解为 $y = Ce^x$，其中 $C$ 是任意常数。
步骤 3：求解非齐次方程
接下来，我们使用常数变易法求解非齐次方程 $y' - y = -x$。假设非齐次方程的解为 $y = u(x)e^x$，其中 $u(x)$ 是待定函数。将 $y = u(x)e^x$ 代入原方程，得到 $u'(x)e^x = -x$。解这个方程得到 $u(x) = -\frac{1}{2}x^2 - x + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，非齐次方程的通解为 $y = (-\frac{1}{2}x^2 - x + C)e^x$。
步骤 4：整理通解
将 $y = (-\frac{1}{2}x^2 - x + C)e^x$ 展开，得到 $y = Ce^x - \frac{1}{2}x^2e^x - xe^x$。由于 $Ce^x$ 是齐次方程的通解，我们可以将 $C$ 重新定义为 $C_1$，得到 $y = C_1e^x - \frac{1}{2}x^2e^x - xe^x$。为了得到最终的通解，我们注意到 $-\frac{1}{2}x^2e^x - xe^x$ 可以写成 $-\frac{1}{2}x^2 - x$ 乘以 $e^x$，因此最终的通解为 $y = C_1e^x - \frac{1}{2}x^2 - x + C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。