设随机变量X,Y相互独立,且X,Y都在区间(0,4)上服从均匀分布,则-|||- -1lt Xleqslant 1,0lt Yleqslant 2 =-|||-(4.0分)

考查要点：本题主要考查独立随机变量的联合概率计算以及均匀分布的概率密度函数应用。

解题核心思路：

1. 独立性：利用独立事件的性质，将联合概率分解为两个独立事件概率的乘积。
2. 均匀分布：明确均匀分布在指定区间内的概率计算方法，即区间长度乘以密度函数值。
3. 区间调整：注意题目中给定的区间可能超出均匀分布的定义域，需取实际有效的区间部分。

破题关键点：

• X的有效区间：虽然题目中X的范围是$(-1,1]$，但X的定义域为$(0,4)$，因此实际有效区间为$(0,1]$。
• Y的有效区间：$(0,2]$完全在定义域$(0,4)$内，无需调整。

步骤1：确定X的有效区间

• 题目中$X$的范围是$(-1,1]$，但$X$的定义域为$(0,4)$，因此实际有效区间为$(0,1]$。
• 计算$P(0 < X \leq 1)$：
  $P(0 < X \leq 1) = \text{区间长度} \times \text{密度函数} = (1-0) \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

步骤2：确定Y的有效区间

• 题目中$Y$的范围是$(0,2]$，完全在定义域$(0,4)$内。
• 计算$P(0 < Y \leq 2)$：
  $P(0 < Y \leq 2) = \text{区间长度} \times \text{密度函数} = (2-0) \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

步骤3：利用独立性计算联合概率

• 因为$X$和$Y$独立，联合概率为各自概率的乘积：
  $P(-1 < X \leq 1, 0 < Y \leq 2) = P(0 < X \leq 1) \times P(0 < Y \leq 2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$