题目
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-.(x,y)=A(e)^-2(x^2+2xy-{y)^2} , -infty lt x ,lt +infty ,-|||-求常数A及条件概率fy|x(y|x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定常数A
为了确定常数A，我们需要利用概率密度函数的性质，即整个平面上的概率密度函数的积分等于1。因此，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} A{e}^{-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2}} \, dx \, dy = 1
$$
步骤 2：计算积分
首先，我们观察到指数部分可以重写为：
$$
-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2} = -(x-y)^2 - x^2
$$
因此，概率密度函数可以重写为：
$$
A{e}^{-(x-y)^2 - x^2}
$$
接下来，我们计算积分：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} A{e}^{-(x-y)^2 - x^2} \, dx \, dy
$$
步骤 3：利用标准正态分布的积分性质
注意到，积分可以分解为两个独立的积分：
$$
A\int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{-(x-y)^2} \, dx \int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{-x^2} \, dx
$$
每个积分都是标准正态分布的积分，其值为$\sqrt{\pi}$。因此，我们有：
$$
A\sqrt{\pi}\sqrt{\pi} = A\pi = 1
$$
从而得到：
$$
A = \frac{1}{\pi}
$$
步骤 4：计算条件概率密度函数
条件概率密度函数${f}_{y|x}(y|x)$定义为：
$$
{f}_{y|x}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}
$$
其中$f_X(x)$是X的边缘概率密度函数，可以通过对$f(x,y)$关于y积分得到：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} A{e}^{-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2}} \, dy
$$
代入$A = \frac{1}{\pi}$，我们有：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2}} \, dy
$$
注意到指数部分可以重写为：
$$
-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2} = -(x-y)^2 - x^2
$$
因此，我们有：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-(x-y)^2 - x^2} \, dy
$$
由于${e}^{-x^2}$是常数，可以提取出积分外，我们有：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\pi}{e}^{-x^2}\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-(x-y)^2} \, dy
$$
注意到积分$\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-(x-y)^2} \, dy$是标准正态分布的积分，其值为$\sqrt{\pi}$。因此，我们有：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\pi}{e}^{-x^2}\sqrt{\pi} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-x^2}
$$
最后，条件概率密度函数${f}_{y|x}(y|x)$为：
$$
{f}_{y|x}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{\frac{1}{\pi}{e}^{-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2}}}{\frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-(x-y)^2}
$$
为了确定常数A，我们需要利用概率密度函数的性质，即整个平面上的概率密度函数的积分等于1。因此，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} A{e}^{-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2}} \, dx \, dy = 1
$$
步骤 2：计算积分
首先，我们观察到指数部分可以重写为：
$$
-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2} = -(x-y)^2 - x^2
$$
因此，概率密度函数可以重写为：
$$
A{e}^{-(x-y)^2 - x^2}
$$
接下来，我们计算积分：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} A{e}^{-(x-y)^2 - x^2} \, dx \, dy
$$
步骤 3：利用标准正态分布的积分性质
注意到，积分可以分解为两个独立的积分：
$$
A\int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{-(x-y)^2} \, dx \int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{-x^2} \, dx
$$
每个积分都是标准正态分布的积分，其值为$\sqrt{\pi}$。因此，我们有：
$$
A\sqrt{\pi}\sqrt{\pi} = A\pi = 1
$$
从而得到：
$$
A = \frac{1}{\pi}
$$
步骤 4：计算条件概率密度函数
条件概率密度函数${f}_{y|x}(y|x)$定义为：
$$
{f}_{y|x}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}
$$
其中$f_X(x)$是X的边缘概率密度函数，可以通过对$f(x,y)$关于y积分得到：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} A{e}^{-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2}} \, dy
$$
代入$A = \frac{1}{\pi}$，我们有：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2}} \, dy
$$
注意到指数部分可以重写为：
$$
-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2} = -(x-y)^2 - x^2
$$
因此，我们有：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-(x-y)^2 - x^2} \, dy
$$
由于${e}^{-x^2}$是常数，可以提取出积分外，我们有：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\pi}{e}^{-x^2}\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-(x-y)^2} \, dy
$$
注意到积分$\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-(x-y)^2} \, dy$是标准正态分布的积分，其值为$\sqrt{\pi}$。因此，我们有：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\pi}{e}^{-x^2}\sqrt{\pi} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-x^2}
$$
最后，条件概率密度函数${f}_{y|x}(y|x)$为：
$$
{f}_{y|x}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{\frac{1}{\pi}{e}^{-2{x}^{2}+2xy-{y}^{2}}}{\frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-(x-y)^2}
$$