当xarrow -infty时，arctan x的极限值是 A. pi/2B. 2C. -pi/2D. 0

考查要点：本题主要考查反正切函数（arctan x）的极限性质，特别是当自变量趋向于负无穷时的极限值。

解题核心思路：

1. 明确反正切函数的值域：$\arctan x$的值域为$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，即无论$x$取何值，$\arctan x$的结果始终在该区间内。
2. 理解正切函数与反正切函数的互逆关系：$\tan \theta = x \iff \theta = \arctan x$（其中$\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$）。
3. 分析$x \to -\infty$时的对应角度：当$x \to -\infty$时，$\tan \theta \to -\infty$，此时$\theta$应趋近于$\left(-\frac{\pi}{2}\right)^+$（即从右侧接近$-\frac{\pi}{2}$）。

破题关键点：

• 值域的下界：$\arctan x$在$x \to -\infty$时的极限值是其值域的下界$-\frac{\pi}{2}$。

步骤1：回顾反正切函数的值域
反正切函数$\arctan x$的值域为$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，即无论$x$取何实数值，$\arctan x$的结果始终在$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$之间。

步骤2：分析$x \to -\infty$时的对应角度
根据反正切函数的定义，当$x \to -\infty$时，$\tan \theta = x \to -\infty$。此时，$\theta$需要满足$\tan \theta \to -\infty$，而根据正切函数的性质，当$\theta \to -\frac{\pi}{2}$时，$\tan \theta \to -\infty$。

步骤3：确定极限值
由于$\arctan x$的值域限制，当$x \to -\infty$时，$\arctan x$会无限接近但始终大于$-\frac{\pi}{2}$，因此极限值为$-\frac{\pi}{2}$。