在求数值积分时，中矩形公式具有____次代数精度，辛普森公式具有____次代数精度。A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查数值积分中中矩形公式和辛普森公式的代数精度相关知识。解题思路是根据代数精度的定义，分别对中矩形公式和辛普森公式进行验证，确定它们能精确成立的最高多项式次数次数。

1. 中矩形公式代数精度的验证

中矩形公式为\\(\int_{a^b f(x)dx\approx(b - a)f(\frac{a + b}{2})\)。

• 对于$f(x)=1$（零次多项式）：
  左边$\int_{a}^{b}1dx=b - a$，右边$(b - a)f(\frac{a + b}{2})=(b - a)\times1=b - a$，左边等于右边，中矩形公式精确成立。
• 对于$f(x)=x$（一次多项式）：
  左边$\int_{a}^{b}xdx=\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$，右边$(b - a)f(\frac{a + b}{2})=(b - a)\times\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$，左边等于右边，中矩形公式精确成立。
• 对于$f(x)=x^{2}$（二次多项式）：
  左边$\int_{a}^{b}x^{2}dx=\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3})$，$(b - a)f(\frac{a + b}{2})=(b - a)(\frac{a + b}{2})^{2}=\frac{1}{4}(b - a)(b + a)^{2}=\frac{1}{4}(b^{3}+2ab^{2}+2a^{2}b}-a^{3})$。
  因为$\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3})\neq\frac{1}{4}(b^{3}+2ab^{2}+2a^{2}b - a^{3})$，所以中矩形公式对于二次多项式不精确成立。
  因此，中矩形公式具有$1$次代数精度。

2. 辛普森公式代数精度的验证

辛普森公式为$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b - a}{6}[f(a)+4f(\frac{a + b}{2})+f(b)]$。

• 对于$f(x)=1$（零次多项式）：
  左边$\int_{a}^{b}1dx=b - a$，右边$\frac{b - a}{6}[1 + 4\times1+1]=\frac{b - a}{6}\times6=b - a$，左边等于右边，辛普森公式精确成立。
• 对于$f(x)=x$（一次多项式）
  左边$\int_{a}^{b}xdx=\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$，右边$\frac{b - a}{6}[a + 4\times\frac{a + b}{2}+b]=\frac{b - a}{6}(3a + 3b)=\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2)$，左边等于右边，辛普森公式精确成立。
• 对于$f(x)=x^{2}$（二次多项式）
  左边$\int_{a}^{b}x^{2}dx=\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3})$，右边$\frac{b - a}{6}[a^{2}+4(\frac{a + b}{2})^{2}+b^{2}]=\frac{b - a}{6}(a^{2}+a^{2}+2ab + b^{2}+b^{2})=\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3})$，左边等于右边，辛普森公式精确成立。
• 对于$f(x)=x^{3}$（三次多项式）
  设$f(x)=x^{3}$，$\int_{a}^{b}x^{3}dx=\frac{1}{4}(b^{4}-a^{4})$。
  $f(a)=a^{3}$，$f(\frac{a + b}{2})=(\frac{a + b}{2})^{3}=\frac{1}{8}(a + b)^{3}=\frac{1}{8}(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3})$，$f(b)=b^{3}$。
  右边$\frac{b - a}{6}[a^{3}+4\times\frac{1}{8}(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3})+b^{3}]=\frac{b - a}{6}[a^{3}+\frac{1}{2}(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3})+}b^{3}]=\frac{1}{4}(b^{4}-a^{4})$，左边等于右边，辛普森公式精确成立。
• 对于$f(x)=x^{4}$（四次多项式）
  $\int_{a}^{b}x^{4}dx=\frac{1}{5}(b^{5}-a^{5})$。
  $f(a)=a^{4}$，$\frac{a + b}{2})=(\frac{a + b}{2})^{4}=\frac{1}{16}(a + b)^{4}=\frac{1}{16}(a^{4}+4a^{3}b + 6a^{2}b^{2}+4ab^{3 + b^{4})$，$f(b)=b^{4}$。
  右边$\frac{b - a}{6}[a^{4+4\times\frac{1}{16}(a^{4}+4a^{3}b + 6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4})+b^{4}]=\frac{b - a}{6}[a^{4}+\frac{1}{4}(a^{4}+4a^{3}b + 6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4})+]$ + b^{4}]\neq\frac{1}{5}(b^{5}-a^{5}))，所以辛普森公式对于四次多项式多项式不成立。
  因此，辛普森公式具有$3$次代数精度。