题目
24.设D是由曲线 =(x)^dfrac (1{3)}, 直线 =a(agt 0) 及x轴所围成的平面图形面积,V1,V,分别-|||-为D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体体积, (V)_(x)=(V)_(y), 求a的值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算绕x轴旋转的体积 ${V}_{x}$
根据旋转体体积的计算公式，绕x轴旋转的体积 ${V}_{x}$ 可以表示为：
${V}_{x}=\pi {\int }_{0}^{a}{y}^{2}dx$
将 $y={x}^{\dfrac {1}{3}}$ 代入上式，得到：
${V}_{x}=\pi {\int }_{0}^{a}{x}^{\dfrac {2}{3}}dx$
计算积分，得到：
${V}_{x}=\pi \cdot \dfrac {3}{5}{x}^{\dfrac {5}{3}}{1}^{a}$
${V}_{x}=\dfrac {3}{5}\pi {a}^{\dfrac {5}{3}}$
步骤 2：计算绕y轴旋转的体积 ${V}_{y}$
根据旋转体体积的计算公式，绕y轴旋转的体积 ${V}_{y}$ 可以表示为：
${V}_{y}=2\pi {\int }_{0}^{a}xydx$
将 $y={x}^{\dfrac {1}{3}}$ 代入上式，得到：
${V}_{y}=2\pi {\int }_{0}^{a}{x}^{\dfrac {4}{3}}dx$
计算积分，得到：
${V}_{y}=2\pi \cdot \dfrac {3}{7}{x}^{\dfrac {7}{3}}{1}^{a}$
${V}_{y}=\dfrac {6}{7}\pi {a}^{\dfrac {7}{3}}$
步骤 3：根据条件 $10{V}_{x}={V}_{y}$ 求解a
将 ${V}_{x}$ 和 ${V}_{y}$ 的表达式代入条件 $10{V}_{x}={V}_{y}$，得到：
$10\cdot \dfrac {3}{5}\pi {a}^{\dfrac {5}{3}}=\dfrac {6}{7}\pi {a}^{\dfrac {7}{3}}$
化简得到：
$6\pi {a}^{\dfrac {5}{3}}=\dfrac {6}{7}\pi {a}^{\dfrac {7}{3}}$
进一步化简得到：
${a}^{\dfrac {2}{3}}=\dfrac {7}{1}$
解得：
$a=7\sqrt {7}$
根据旋转体体积的计算公式，绕x轴旋转的体积 ${V}_{x}$ 可以表示为：
${V}_{x}=\pi {\int }_{0}^{a}{y}^{2}dx$
将 $y={x}^{\dfrac {1}{3}}$ 代入上式，得到：
${V}_{x}=\pi {\int }_{0}^{a}{x}^{\dfrac {2}{3}}dx$
计算积分，得到：
${V}_{x}=\pi \cdot \dfrac {3}{5}{x}^{\dfrac {5}{3}}{1}^{a}$
${V}_{x}=\dfrac {3}{5}\pi {a}^{\dfrac {5}{3}}$
步骤 2：计算绕y轴旋转的体积 ${V}_{y}$
根据旋转体体积的计算公式，绕y轴旋转的体积 ${V}_{y}$ 可以表示为：
${V}_{y}=2\pi {\int }_{0}^{a}xydx$
将 $y={x}^{\dfrac {1}{3}}$ 代入上式，得到：
${V}_{y}=2\pi {\int }_{0}^{a}{x}^{\dfrac {4}{3}}dx$
计算积分，得到：
${V}_{y}=2\pi \cdot \dfrac {3}{7}{x}^{\dfrac {7}{3}}{1}^{a}$
${V}_{y}=\dfrac {6}{7}\pi {a}^{\dfrac {7}{3}}$
步骤 3：根据条件 $10{V}_{x}={V}_{y}$ 求解a
将 ${V}_{x}$ 和 ${V}_{y}$ 的表达式代入条件 $10{V}_{x}={V}_{y}$，得到：
$10\cdot \dfrac {3}{5}\pi {a}^{\dfrac {5}{3}}=\dfrac {6}{7}\pi {a}^{\dfrac {7}{3}}$
化简得到：
$6\pi {a}^{\dfrac {5}{3}}=\dfrac {6}{7}\pi {a}^{\dfrac {7}{3}}$
进一步化简得到：
${a}^{\dfrac {2}{3}}=\dfrac {7}{1}$
解得：
$a=7\sqrt {7}$