在公式① P(B)=P(A)P(B|A)+P(overline(A))P(B|overline(A)) ② P(A|B)=(P(AB))/(P(A)) ③ P(A|B)=(P(A)P(B|A))/(P(A)P(B|A)+P(overline(A))P(B|overline{A))} ④ P(A|overline(B))=(P(A)-P(AB))/(1-P(B)) 中成立的是①②③.A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查概率论中的全概率公式、贝叶斯定理以及条件概率的定义，需要判断四个公式是否成立。

解题核心思路：

1. 公式①：验证是否符合全概率公式的形式；
2. 公式②：检查条件概率的分母是否正确；
3. 公式③：判断是否由全概率公式和贝叶斯定理推导；
4. 公式④：通过事件分解和条件概率定义验证。

破题关键点：

• 全概率公式的正确形式为 $P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$；
• 条件概率的定义是 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，而非 $P(A)$；
• 贝叶斯定理的推导需结合全概率公式；
• 事件补集的概率需通过事件分解和补集运算推导。

公式①分析

全概率公式的条件是事件 $A$ 和 $\overline{A}$ 构成完备事件组，此时 $P(B)$ 可分解为：
$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}).$
公式①正确成立。

公式②分析

根据条件概率的定义：
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}.$
但公式②的分母为 $P(A)$，分母错误，因此公式②不成立。

公式③分析

贝叶斯定理的正确形式为：
$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}.$
结合公式①中 $P(B)$ 的表达式代入分母，可得：
$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})}.$
公式③正确成立。

公式④分析

根据条件概率定义：
$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}.$
其中：

• $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$（事件分解）；
• $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$（补集概率）。

代入后得：
$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}.$
公式④正确成立。