题目
给定线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=a-3 (x)_(1)+a(x)_(2)+(x)_(3)=-2 (x)_(1)+(x)_(2)+a(x)_(3)=-2 .(1)问a为何值时,方程组有无穷多个解;(2)当方程组有无穷多个解时,求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).
给定线性方程组
(1)问a为何值时,方程组有无穷多个解;
(2)当方程组有无穷多个解时,求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解
系表示).
题目解答
答案
解
1)当
时,
有无穷解
2)当时,
,故
有一特解
方程组的导出组为
,解得
可取
为一基础解系,
通解为
(
)
66.67.68.(略)
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵$\overline {A}=$ $\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& (a-3)\\ 1& a& 1& -2\\ 1& 1& a& -2\end{matrix} ] \right.$，并进行初等行变换。
步骤 2：初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，得到$\overline {A}=$ $\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& (a-3)\\ 0& (a-1)& 0& (1-a)\\ 0& 0& (a-1)& (1-a)\end{matrix} ] \right.$。
步骤 3：判断方程组有无穷多个解的条件
当$a=1$时，$r(\overline {A})=r(A)=1\lt 3=n$，方程组有无穷多个解。
步骤 4：求特解
当$a=1$时，$\overline {A}=$ $\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ] \right.$，方程组化简为${x}_{1}=-2-{x}_{2}-{x}_{3}$，取${x}_{2}={x}_{3}=0$，得到一个特解$\eta =(-2,0,0)$。
步骤 5：求导出组的基础解系
方程组的导出组为$A\cdot X=0$，解得${x}_{1}=-{x}_{2}-{x}_{3}$，可取基础解系为${S}_{1}=$ $\left [ \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0\end{matrix} ] \right.$，${S}_{2}=$ $\left [ \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1\end{matrix} ] \right.$。
步骤 6：写出通解
通解为$X=\eta +{k}_{1}{S}_{1}+{k}_{2}{S}_{2}$，其中${k}_{1},{k}_{2}\in R$。
构造增广矩阵$\overline {A}=$ $\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& (a-3)\\ 1& a& 1& -2\\ 1& 1& a& -2\end{matrix} ] \right.$，并进行初等行变换。
步骤 2：初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，得到$\overline {A}=$ $\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& (a-3)\\ 0& (a-1)& 0& (1-a)\\ 0& 0& (a-1)& (1-a)\end{matrix} ] \right.$。
步骤 3：判断方程组有无穷多个解的条件
当$a=1$时，$r(\overline {A})=r(A)=1\lt 3=n$，方程组有无穷多个解。
步骤 4：求特解
当$a=1$时，$\overline {A}=$ $\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ] \right.$，方程组化简为${x}_{1}=-2-{x}_{2}-{x}_{3}$，取${x}_{2}={x}_{3}=0$，得到一个特解$\eta =(-2,0,0)$。
步骤 5：求导出组的基础解系
方程组的导出组为$A\cdot X=0$，解得${x}_{1}=-{x}_{2}-{x}_{3}$，可取基础解系为${S}_{1}=$ $\left [ \begin{matrix} -1\\ 1\\ 0\end{matrix} ] \right.$，${S}_{2}=$ $\left [ \begin{matrix} -1\\ 0\\ 1\end{matrix} ] \right.$。
步骤 6：写出通解
通解为$X=\eta +{k}_{1}{S}_{1}+{k}_{2}{S}_{2}$，其中${k}_{1},{k}_{2}\in R$。