题目

二元函数 =(x)^3-(y)^3+3(x)^2+3(y)^2-9x 的极小值点是[-|||-(A)(1,0) (B)(1,2) (C) (-3,0) (D) (-3,2)


题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解、二阶偏导数检验法（Hessian矩阵判别法）的应用。

解题核心思路：

  1. 求驻点：通过求一阶偏导数并令其等于零，解联立方程得到可能的极值点。
  2. 二阶检验：利用二阶偏导数构造Hessian矩阵，计算行列式$D$和$z_{xx}$的值，判断驻点的性质：
    • 若$D > 0$且$z_{xx} > 0$，则为极小值点；
    • 若$D > 0$且$z_{xx} < 0$，则为极大值点；
    • 若$D < 0$，则为鞍点；
    • 若$D = 0$，则无法判断。

破题关键点：

  • 正确求解一阶偏导数，并准确解联立方程得到驻点。
  • 正确计算二阶偏导数，并代入各驻点计算$D$和$z_{xx}$的值，避免符号错误。

求驻点

  1. 求一阶偏导数：

    • 对$x$求偏导：$z_x = 3x^2 + 6x - 9$
    • 对$y$求偏导：$z_y = -3y^2 + 6y$

  2. 解联立方程：

    • $z_x = 0 \Rightarrow 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$或$x = -3$
    • $z_y = 0 \Rightarrow -3y^2 + 6y = 0 \Rightarrow y(y - 2) = 0 \Rightarrow y = 0$或$y = 2$

    联立得驻点：$(1,0)$、$(1,2)$、$(-3,0)$、$(-3,2)$。

二阶检验

  1. 求二阶偏导数：

    • $z_{xx} = 6x + 6$
    • $z_{xy} = 0$
    • $z_{yy} = -6y + 6$

  2. 计算Hessian行列式$D$：

    • $D = z_{xx} \cdot z_{yy} - (z_{xy})^2 = (6x + 6)(-6y + 6)$

  3. 逐点判断：

    • $(1,0)$：

      • $z_{xx} = 6 \cdot 1 + 6 = 12 > 0$
      • $z_{yy} = -6 \cdot 0 + 6 = 6$
      • $D = 12 \cdot 6 = 72 > 0$
        结论：极小值点。

    • $(1,2)$：

      • $z_{xx} = 12 > 0$
      • $z_{yy} = -6 \cdot 2 + 6 = -6$
      • $D = 12 \cdot (-6) = -72 < 0$
        结论：鞍点。

    • $(-3,0)$：

      • $z_{xx} = 6 \cdot (-3) + 6 = -12 < 0$
      • $z_{yy} = 6$
      • $D = (-12) \cdot 6 = -72 < 0$
        结论：鞍点。

    • $(-3,2)$：

      • $z_{xx} = -12 < 0$
      • $z_{yy} = -6 \cdot 2 + 6 = -6$
      • $D = (-12) \cdot (-6) = 72 > 0$
        结论：极大值点。