1.1.19 利用复数的三角表达式或指数表达式证明:-|||-(a) ((-1+i))^7=-8(1+i);-|||-(b) ((1+sqrt {3)i)}^-10=(2)^-11(-1+sqrt (3)i).

考查要点：本题主要考查复数的极坐标形式（三角形式或指数形式）的应用，以及利用棣莫弗定理进行幂运算的能力。

解题核心思路：

1. 将复数转换为极坐标形式：确定模长和辐角；
2. 应用幂运算规则：模长取幂，辐角乘以指数；
3. 将结果转换回代数形式：通过三角函数或欧拉公式展开。

破题关键点：

• 正确计算模长和辐角，注意辐角所在的象限；
• 处理负指数时，需对模长取倒数，辐角取相反数；
• 简化辐角至$[0, 2\pi)$范围内。

(a) ${(-1+i)}^{7}=-8(1+i)$

步骤1：转换为极坐标形式

复数$-1+i$的模长为：
$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
辐角为：
$\theta = \frac{3\pi}{4} \quad (\text{第二象限})$
因此，$-1+i$的极坐标形式为：
$\sqrt{2} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}}$

步骤2：应用幂运算

七次方后：
$(\sqrt{2})^7 e^{i \cdot 7 \cdot \frac{3\pi}{4}} = 2^{\frac{7}{2}} e^{i\frac{21\pi}{4}}$
简化辐角：
$\frac{21\pi}{4} - 4\pi = \frac{21\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
因此，结果为：
$2^{\frac{7}{2}} \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \right)$

步骤3：转换回代数形式

计算模长：
$2^{\frac{7}{2}} = 8\sqrt{2}$
三角函数值：
$\cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入得：
$8\sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -8(1+i)$

(b) ${(1+\sqrt{3}i)}^{-10}={2}^{-11}(-1+\sqrt{3}i)$

步骤1：转换为极坐标形式

复数$1+\sqrt{3}i$的模长为：
$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$
辐角为：
$\theta = \frac{\pi}{3} \quad (\text{第一象限})$
因此，$1+\sqrt{3}i$的极坐标形式为：
$2 \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) = 2 e^{i\frac{\pi}{3}}$

步骤2：应用负指数运算

负十次方后：
$2^{-10} e^{-i \cdot 10 \cdot \frac{\pi}{3}} = 2^{-10} e^{-i\frac{10\pi}{3}}$
简化辐角：
$-\frac{10\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi}{3}$
因此，结果为：
$2^{-10} \left( \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} \right)$

步骤3：转换回代数形式

三角函数值：
$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
代入得：
$2^{-10} \left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2^{-11}(-1 + \sqrt{3}i)$