题目
填空题（共18题，72.0分）13.（4.0分）设随机变量X的概率密度为f(x)=}(1)/(8)x, & 0le xle 4,0, & elseZ=}0, & Xle 2,1, & X>2,=_.（请用最简分数作答，如1/3）
填空题（共18题，72.0分）
13.（4.0分）设随机变量X的概率密度为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{8}x, & 0\le x\le 4,\\0, & else\end{cases}$，令$Y=\begin{cases}0, & X\le 1,\\1, & X>1,\end{cases}$
$Z=\begin{cases}0, & X\le 2,\\1, & X>2,\end{cases}$则$P\{Y=1,Z=0\}=\_.$（请用最简分数作答，如1/3）
题目解答
答案
根据定义，事件 $ Y=1 $ 对应 $ X > 1 $，事件 $ Z=0 $ 对应 $ X \le 2 $。因此，事件 $ Y=1 $ 且 $ Z=0 $ 即为 $ 1 < X \le 2 $。
计算概率：
\[
P\{1 < X \le 2\} = \int_{1}^{2} \frac{1}{8}x \, dx = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{8} \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{16}
\]
答案：
\[
\boxed{\frac{3}{16}}
\]
解析
本题考查连续型随机变量的概率计算。解题的关键在于根据$Y$和$Z$的定义，确定$P\{Y = 1, Z = 0\}$所对应的$X$的取值范围，然后利用概率密度函数通过积分来计算该概率。
- 确定$P\{Y = 1, Z = 0\}$对应的$X$的取值范围：
- 已知$Y=\begin{cases}0, & X\le 1\\1, & X>1\end{cases}$，所以$Y = 1$时，$X$的取值范围是$X>1$。
- 又已知$Z=\begin{cases}0, & X\le 2\\1, & X>2\end{cases}$，所以$Z = 0$时，$X$的取值范围是$X\le 2$。
- 那么$P\{Y = 1, Z = 0\}$就对应着$X$同时满足$X>1$和$X\le 2$，即$1 < X \le 2$。
- 根据概率密度函数计算概率：
- 已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{8}x, & 0\le x\le 4\\0, & else\end{cases}$。
- 对于连续型随机变量，$P\{a < X \le b\}=\int_{a}^{b}f(x)dx$，所以$P\{1 < X \le 2\}=\int_{1}^{2}f(x)dx$。
- 因为在$1 < X \le 2$这个区间内，$f(x)=\frac{1}{8}x$，所以$P\{1 < X \le 2\}=\int_{1}^{2}\frac{1}{8}x dx$。
- 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对$\int_{1}^{2}\frac{1}{8}x dx$进行计算：
- 先将$\frac{1}{8}$提出积分号外，得到$\frac{1}{8}\int_{1}^{2}x dx$。
- 对$\int_{1}^{2}x dx$进行计算，$\int_{1}^{2}x dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}$。
- 根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，则$\left[\frac{x^ 2}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
- 所以$\frac{1}{8}\int_{1}^{2}x dx=\frac{1}{8}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{16}$。