1.设函数f(x,y)=}xsin(1)/(y)+ysin(1)/(x),xyneq00,xy=0f(x,y)=（） (A.)不存在 (B.)等于1 (C.)等于0 (D.)等于2

考查要点：本题主要考查二元函数在原点处的极限是否存在，需要判断不同路径趋近于原点时函数值是否趋于同一极限。

解题核心思路：

1. 利用有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小：当$x$和$y$趋近于0时，$\sin\frac{1}{y}$和$\sin\frac{1}{x}$虽然振荡，但始终有界（绝对值不超过1），因此$x\sin\frac{1}{y}$和$y\sin\frac{1}{x}$均为无穷小量，其和趋于0。
2. 路径无关性验证：无论沿何种路径趋近于原点，函数值均趋于0，从而证明极限存在且等于0。

破题关键点：

• 明确$\sin$函数的有界性，结合$x$和$y$的无穷小性，直接得出两项之和趋于0。
• 无需复杂路径计算，直接通过不等式放缩即可得出结论。

当$(x,y) \to (0,0)$时，分两种情况讨论：

1. 当$xy \neq 0$时：
   函数为$f(x,y) = x\sin\frac{1}{y} + y\sin\frac{1}{x}$。

   • 由于$\sin\frac{1}{y}$和$\sin\frac{1}{x}$的绝对值均不超过1，故：
     $|x\sin\frac{1}{y}| \leq |x|, \quad |y\sin\frac{1}{x}| \leq |y|.$
   • 当$x \to 0$且$y \to 0$时，$|x| \to 0$，$|y| \to 0$，因此：
     $x\sin\frac{1}{y} \to 0, \quad y\sin\frac{1}{x} \to 0.$
   • 两无穷小量之和仍为无穷小量，故：
     $x\sin\frac{1}{y} + y\sin\frac{1}{x} \to 0.$

2. 当$xy = 0$时：
   函数值直接为$f(x,y) = 0$，显然极限为0。

结论：无论路径如何趋近于原点，极限均为0，故$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = 0$。