【练习26】已知函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：至少存在一点ξ∈(0,3)，使得f'(ξ)=0.

考查要点：本题主要考查介值定理和罗尔定理的综合应用，通过构造辅助函数，将问题转化为满足罗尔定理条件的形式。

解题核心思路：

1. 利用介值定理：根据题目中三个点函数值的平均值为1，推断存在一点$c \in [0,2]$，使得$f(c)=1$。
2. 构造辅助函数：定义$g(x)=f(x)-1$，使$g(c)=0$且$g(3)=0$，从而满足罗尔定理的条件。
3. 应用罗尔定理：在区间$[c,3]$上应用罗尔定理，直接得出导数为零的点$\xi$。

破题关键点：

• 关键转化：通过构造$g(x)$，将原问题转化为寻找函数值相等的端点，进而应用罗尔定理。
• 区间选择：确保$c \in [0,2]$，使得$\xi \in (c,3) \subset (0,3)$，符合题目对$\xi$的范围要求。

步骤1：应用介值定理
已知$f(0)+f(1)+f(2)=3$，可得平均值$\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3}=1$。
根据介值定理，若函数$f(x)$在$[0,2]$上连续，则至少存在一点$c \in [0,2]$，使得$f(c)=1$。

步骤2：构造辅助函数
定义$g(x)=f(x)-1$，则：

• $g(c)=f(c)-1=0$，
• $g(3)=f(3)-1=1-1=0$。

步骤3：应用罗尔定理
函数$g(x)$在$[c,3]$上连续，在$(c,3)$内可导，且$g(c)=g(3)=0$。
根据罗尔定理，存在$\xi \in (c,3) \subset (0,3)$，使得$g'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=0$。