已知随机变量X和Y相互独立，且X服从标准正态分布，Y sim U[-1, 2]，求（1）求联合概率密度；（2）计算P(|X| < 2, -6 < Y < 1)；（3）计算P(min(X, Y) leq 1.65).(Phi(2) = 0.9772, Phi(1.65) = 0.9505)

考查要点：本题主要考查独立随机变量的联合概率密度、联合概率计算以及利用补集法求概率。

解题思路：

1. 联合概率密度：利用独立随机变量的性质，联合密度为各自边缘密度的乘积。
2. 联合概率计算：注意事件中变量的实际取值范围是否受限于定义域，再利用独立性分解概率。
3. 最小值概率：通过补集法，转化为两个独立事件同时发生的概率，再用1减去补集概率。

关键点：

• 独立性：X和Y独立，联合密度为乘积形式。
• 均匀分布的区间限制：Y的取值范围始终在[-1, 2]内。
• 补集法：$\min(X,Y)\leq a$等价于至少有一个变量不超过a，计算其补集更简便。

第（1）题

联合概率密度
由于X和Y独立，联合概率密度为各自边缘密度的乘积：

• X的标准正态分布密度：$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$
• Y的均匀分布密度：$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3} & \text{若 } -1 \leq y \leq 2, \\ 0 & \text{其他}. \end{cases}$
  因此，联合密度为：
  $f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} & \text{若 } -1 \leq y \leq 2, \\ 0 & \text{其他}. \end{cases}$

第（2）题

计算$P(|X| < 2, -6 < Y < 1)$

1. 确定Y的有效范围：
   Y的定义域为[-1, 2]，因此$-6 < Y < 1$等价于$-1 \leq Y < 1$，对应区间长度为$1 - (-1) = 2$，概率为$\frac{2}{3}$。
2. 计算X的概率：
   $P(|X| < 2) = 2\Phi(2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$。
3. 联合概率：
   由独立性，$P(|X| < 2, -6 < Y < 1) = 0.9544 \times \frac{2}{3} \approx 0.6363$。

第（3）题

计算$P(\min(X, Y) \leq 1.65)$

1. 补集法：
   $\min(X, Y) \leq 1.65$的补集为$\min(X, Y) > 1.65$，即$X > 1.65$且$Y > 1.65$。
2. 计算补集概率：
   • $P(X > 1.65) = 1 - \Phi(1.65) = 1 - 0.9505 = 0.0495$
   • $P(Y > 1.65) = \frac{2 - 1.65}{3} = \frac{0.35}{3} \approx 0.1167$
   • 联合概率：$0.0495 \times 0.1167 \approx 0.005775$
3. 最终概率：
   $P(\min(X, Y) \leq 1.65) = 1 - 0.005775 \approx 0.9942$。