2.求极限lim _(xarrow 0)(dfrac (1)(xsin x)-dfrac (cos x)({x)^2}) ()

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及无穷小量的比较和泰勒展开的应用。需要学生掌握分式合并化简、泰勒多项式展开以及极限运算的技巧。

解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致分式无意义时，需通过变形或展开消除不定型。本题的关键在于将两个分式合并后，利用泰勒展开将分子和分母展开到足够阶数，从而分离出有限项，求出极限值。

破题关键点：

1. 通分合并分式，将原式转化为单一分式形式；
2. 展开分子和分母的泰勒多项式，保留到$x^3$阶，忽略高阶无穷小；
3. 化简分式，提取主部项，得到极限结果。

步骤1：通分合并分式
原式为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {1}{x\sin x}-\dfrac {\cos x}{{x}^{2}}\right)$
通分后得到：
$\frac{x - \cos x \sin x}{x^2 \sin x}$

步骤2：展开分子和分母的泰勒多项式

• $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$
• $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$
• $\cos x \sin x = x - \dfrac{2x^3}{3} + o(x^3)$
• 分子：$x - \cos x \sin x = \dfrac{2x^3}{3} + o(x^3)$
• 分母：$x^2 \sin x = x^3 + o(x^3)$

步骤3：化简分式
将分子和分母代入分式：
$\frac{\dfrac{2x^3}{3} + o(x^3)}{x^3 + o(x^3)} = \frac{2}{3} + o(1)$
当$x \rightarrow 0$时，$o(1)$项趋近于0，故极限为$\dfrac{2}{3}$。