24.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布,-|||-其概率密度为-|||-_(x)(x)= {e)^-x/5,xgt 0 0, 。

考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算、二项分布的建立以及概率的逆事件求解。

解题核心思路：

1. 确定单次事件概率：计算顾客一次等待时间不超过10分钟的概率，进而得到离开的概率。
2. 建立二项分布模型：由于每月独立尝试5次，离开次数Y服从二项分布。
3. 逆事件转换：利用互补事件简化计算$P\{Y \geq 1\}$。

破题关键点：

• 指数分布的累积分布函数：$P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}$，其中$\lambda = \frac{1}{5}$。
• 独立重复试验：每次离开事件独立，概率相同，符合二项分布条件。

1. 计算单次离开概率

顾客等待时间$X \sim \text{Exp}(\lambda = \frac{1}{5})$，离开的概率为：
$p_{\text{离开}} = P(X > 10) = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5} e^{-x/5} dx = e^{-10/5} = e^{-2}.$

2. 确定Y的分布

每月独立尝试5次，Y表示离开次数，服从二项分布：
$Y \sim B\left(5, \, e^{-2}\right).$

3. 分布律表达式

二项分布的概率质量函数为：
$P(Y = k) = \binom{5}{k} \left(e^{-2}\right)^k \left(1 - e^{-2}\right)^{5 - k}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.$

4. 计算$P\{Y \geq 1\}$

利用互补事件：
$P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - \left(1 - e^{-2}\right)^5.$
代入数值计算得：
$1 - (1 - e^{-2})^5 \approx 0.516.$