题目
已知函数f（x）=a（x-1）-lnx+1．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex-1恒成立．
已知函数f（x）=a（x-1）-lnx+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex-1恒成立．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex-1恒成立．
题目解答
答案
解：（1）f（x）=a（x-1）-lnx+1，
则$f'（x）=\frac{ax-1}{x}$，x＞0，
若a≤0，f′（x）＜0，f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间；
若a＞0时，当$0＜x＜\frac{1}{a}$时，f'（x）＜0，
当$x＞\frac{1}{a}$时，f'（x）＞0，
所以f（x）的减区间为$（0，\frac{1}{a}）$，增区间为$（\frac{1}{a}，+∞）$；
（2）证明：因为a≤2，
所以当x＞1时，ex-1-f（x）=ex-1-a（x-1）+lnx-1≥ex-1-2x+lnx+1，
令g（x）=ex-1-2x+lnx+1，
则g'（x）=${e}^{x-1}-2+\frac{1}{x}$，
令h（x）=g'（x），
则$h'（x）=e^{x-1}-\frac{1}{x^2}$在（1，+∞）上递增，
h'（x）＞h'（1）=0，
所以h（x）=g'（x）在（1，+∞）上递增，g'（x）＞g'（1）=0，
故g（x）在（1，+∞）上递增，g（x）＞g（1）=0，
所以当x＞1时，f（x）＜ex-1恒成立．
则$f'（x）=\frac{ax-1}{x}$，x＞0，
若a≤0，f′（x）＜0，f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间；
若a＞0时，当$0＜x＜\frac{1}{a}$时，f'（x）＜0，
当$x＞\frac{1}{a}$时，f'（x）＞0，
所以f（x）的减区间为$（0，\frac{1}{a}）$，增区间为$（\frac{1}{a}，+∞）$；
（2）证明：因为a≤2，
所以当x＞1时，ex-1-f（x）=ex-1-a（x-1）+lnx-1≥ex-1-2x+lnx+1，
令g（x）=ex-1-2x+lnx+1，
则g'（x）=${e}^{x-1}-2+\frac{1}{x}$，
令h（x）=g'（x），
则$h'（x）=e^{x-1}-\frac{1}{x^2}$在（1，+∞）上递增，
h'（x）＞h'（1）=0，
所以h（x）=g'（x）在（1，+∞）上递增，g'（x）＞g'（1）=0，
故g（x）在（1，+∞）上递增，g（x）＞g（1）=0，
所以当x＞1时，f（x）＜ex-1恒成立．
解析
步骤 1：求导数
首先，我们对函数$f(x) = a(x-1) - \ln x + 1$求导，得到$f'(x) = a - \frac{1}{x}$。
步骤 2：确定单调区间
根据$f'(x)$的符号，我们可以确定函数的单调性。当$f'(x) > 0$时，函数单调递增；当$f'(x) < 0$时，函数单调递减。
步骤 3：分析a的取值
对于a的不同取值，$f'(x)$的符号会有所不同，从而影响函数的单调性。当a≤0时，$f'(x) < 0$，函数单调递减；当a>0时，$f'(x)$的符号取决于x的值，需要进一步分析。
步骤 4：证明不等式
对于第二问，我们需要证明当a≤2时，对于所有x>1，有$f(x) < e^{x-1}$。这可以通过构造辅助函数，利用导数分析其单调性来完成。
首先，我们对函数$f(x) = a(x-1) - \ln x + 1$求导，得到$f'(x) = a - \frac{1}{x}$。
步骤 2：确定单调区间
根据$f'(x)$的符号，我们可以确定函数的单调性。当$f'(x) > 0$时，函数单调递增；当$f'(x) < 0$时，函数单调递减。
步骤 3：分析a的取值
对于a的不同取值，$f'(x)$的符号会有所不同，从而影响函数的单调性。当a≤0时，$f'(x) < 0$，函数单调递减；当a>0时，$f'(x)$的符号取决于x的值，需要进一步分析。
步骤 4：证明不等式
对于第二问，我们需要证明当a≤2时，对于所有x>1，有$f(x) < e^{x-1}$。这可以通过构造辅助函数，利用导数分析其单调性来完成。