题目
4.求点 M(1,-1,2) 关于平面 pi :x-2y-z-7=0 对称的点的坐标.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定过点M且垂直于平面π的直线L
- 平面π的法向量为$\vec{n}=(1,-2,-1)$，因此直线L的方向向量为$\vec{d}=(1,-2,-1)$。
- 直线L的参数方程为$L: \left \{ \begin{matrix} x=1+t,\\ y=-1-2t\\ z=2-t\end{matrix} \right.$，其中t为参数。
步骤 2：求直线L与平面π的交点T
- 将直线L的参数方程代入平面π的方程$x-2y-z-7=0$中，得到$(1+t)-2(-1-2t)-(2-t)-7=0$。
- 化简得$1+t+2+4t-2+t-7=0$，即$6t-6=0$，解得$t=1$。
- 将$t=1$代入直线L的参数方程，得到交点T的坐标为$(2,-3,1)$。
步骤 3：求点M关于平面π的对称点N
- 设对称点N的坐标为$(a,b,c)$，则点M和点N关于点T对称，即$\dfrac{a+1}{2}=2$，$\dfrac{b-1}{2}=-3$，$\dfrac{c+2}{2}=1$。
- 解得$a=3$，$b=-5$，$c=0$，因此对称点N的坐标为$(3,-5,0)$。
- 平面π的法向量为$\vec{n}=(1,-2,-1)$，因此直线L的方向向量为$\vec{d}=(1,-2,-1)$。
- 直线L的参数方程为$L: \left \{ \begin{matrix} x=1+t,\\ y=-1-2t\\ z=2-t\end{matrix} \right.$，其中t为参数。
步骤 2：求直线L与平面π的交点T
- 将直线L的参数方程代入平面π的方程$x-2y-z-7=0$中，得到$(1+t)-2(-1-2t)-(2-t)-7=0$。
- 化简得$1+t+2+4t-2+t-7=0$，即$6t-6=0$，解得$t=1$。
- 将$t=1$代入直线L的参数方程，得到交点T的坐标为$(2,-3,1)$。
步骤 3：求点M关于平面π的对称点N
- 设对称点N的坐标为$(a,b,c)$，则点M和点N关于点T对称，即$\dfrac{a+1}{2}=2$，$\dfrac{b-1}{2}=-3$，$\dfrac{c+2}{2}=1$。
- 解得$a=3$，$b=-5$，$c=0$，因此对称点N的坐标为$(3,-5,0)$。