题目
(1)设有空间闭区域 _(1)= (x,y,z)|{x)^2+(y)^2+(z)^2leqslant (R)^2,zgeqslant 0} _(2)=1(x,y,z) 1-|||-^2+(y)^2+(z)^2leqslant (R)^2,xgeqslant 0,ygeqslant 0,zgeqslant 0, 则有 () ;-|||-(A) xdv=4 Ⅱddv (B) ydv=4 ydv-|||-n n2 Ω1-|||-(C) zdv=4 zdv (D) xyzdv=4 xyzdv-|||-_(1) sqrt (2) Ω1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解区域定义
${Q}_{1}$ 是一个半径为 $R$ 的上半球体，而 ${\Omega }_{2}$ 是 ${Q}_{1}$ 在第一卦限的部分，即 $x\geqslant 0,y\geqslant 0,z\geqslant 0$ 的部分。
步骤 2：分析选项
(A) xdv=4 xdv：由于 ${\Omega }_{2}$ 是 ${Q}_{1}$ 的四分之一，且 $x$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布是对称的，因此 $xdv$ 在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
(B) 师ydv=4 ydv：同理，$y$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布也是对称的，因此 $ydv$ 在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
(C) zdv=4 zdv：$z$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布不是对称的，因为 $z$ 的值在上半球体中是正的，而在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
(D) xyzdv=4 xyzdv：$xyz$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布是对称的，因此 $xyzdv$ 在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
步骤 3：选择正确答案
根据上述分析，选项 (C) 是正确的，因为 $z$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布不是对称的，而 $zdv$ 在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
${Q}_{1}$ 是一个半径为 $R$ 的上半球体，而 ${\Omega }_{2}$ 是 ${Q}_{1}$ 在第一卦限的部分，即 $x\geqslant 0,y\geqslant 0,z\geqslant 0$ 的部分。
步骤 2：分析选项
(A) xdv=4 xdv：由于 ${\Omega }_{2}$ 是 ${Q}_{1}$ 的四分之一，且 $x$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布是对称的，因此 $xdv$ 在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
(B) 师ydv=4 ydv：同理，$y$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布也是对称的，因此 $ydv$ 在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
(C) zdv=4 zdv：$z$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布不是对称的，因为 $z$ 的值在上半球体中是正的，而在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
(D) xyzdv=4 xyzdv：$xyz$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布是对称的，因此 $xyzdv$ 在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。
步骤 3：选择正确答案
根据上述分析，选项 (C) 是正确的，因为 $z$ 在 ${Q}_{1}$ 中的分布不是对称的，而 $zdv$ 在 ${\Omega }_{2}$ 中的积分是 ${Q}_{1}$ 中的四分之一。