设有直线L1和L2 的方程分别为:L1:dfrac (x+2)(0)=dfrac (y-2)(1)=dfrac (z+9)(8),L2:dfrac (x+2)(0)=dfrac (y-2)(1)=dfrac (z+9)(8)(1)证明L1与L2异面;(2)求两直线之间的距离;(3)求与两直线距离相等的平面方程;(4)求与两直线都垂直相交的直线方程。

解:直线L1 ,L2上分别有定点P1(-2,2,-9),P2(1,-6,-4),其方向向量分别为,

(1)由于,所以两直线异面。

(2)由于

故过与平行的平面方程为

则两直线的距离转化为求点P1到该平面的距离:

另解:公垂线的方向向量,,

则

(3)由题意,所求平面过线段的中点,其法向量为

,

故所求平面方程为:。

(4)设公垂线为,其方向向量,则:

相交所成平面的法向量,

的方程为,

与的交点(即公垂线与的交点)

相交所成平面的法向量,

的方程为,

与的交点(即公垂线与的交点),

所以,公垂线方程为

注:实际只需求一个交点即可,这里只是为了理解将两个交点都求出,这样亦可以得到(2)的另一解法。

另解:设公垂线与两直线的交点分别为,则可设,,由于,可得:

,解得,即,,从而得到公垂线方程。