(5) lim _(xarrow infty )((dfrac {2x+3)(2x+1))}^x+1;

考查要点：本题主要考查指数函数的极限，特别是形如$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$的变形与应用，以及对数化简和等价无穷小替换的技巧。

解题核心思路：

1. 取自然对数将指数形式转化为乘积形式，简化极限计算。
2. 变形分式，将底数写成$1 + \frac{\text{常数}}{x}$的形式，便于应用等价无穷小替换。
3. 化简极限表达式，结合泰勒展开或直接展开，求出对数后的极限值，最后取指数得到结果。

破题关键点：

• 识别未定式$1^\infty$，必须通过变形转化为标准形式。
• 正确展开对数函数，利用$\ln(1 + a) \approx a - \frac{a^2}{2}$（当$a \to 0$时）。
• 准确处理高阶小项，忽略对最终结果无影响的高阶无穷小。

设原式为$L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)^{x+1}$，步骤如下：

步骤1：取自然对数

对$L$取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} (x+1) \cdot \ln \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)$

步骤2：变形分式

将分式变形为$1 + \frac{2}{2x+1}$：
$\ln \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right) = \ln \left( 1 + \frac{2}{2x+1} \right)$

步骤3：泰勒展开对数

当$x \to \infty$时，$\frac{2}{2x+1} \to 0$，利用泰勒展开$\ln(1 + a) \approx a - \frac{a^2}{2}$：
$\ln \left( 1 + \frac{2}{2x+1} \right) \approx \frac{2}{2x+1} - \frac{(2)^2}{2(2x+1)^2} = \frac{2}{2x+1} - \frac{2}{(2x+1)^2}$

步骤4：代入并化简

将展开式代入$\ln L$：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} (x+1) \left( \frac{2}{2x+1} - \frac{2}{(2x+1)^2} \right)$
当$x \to \infty$时，$2x+1 \approx 2x$，近似化简为：
$\ln L \approx \lim_{x \to \infty} (x+1) \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} \right) = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2x} - \frac{1}{2x^2} \right)$
忽略高阶无穷小后，极限值为$1$。

步骤5：取指数得结果

因此，$L = e^{\ln L} = e^1 = e$。