8.[单选题]【重积分应用】柱面x^2+y^2=a^2被x^2+z^2=a^2(a>0)所截下的部分曲面面积为（）●A.16a^2 < br > bigcircB.8a^2 < br >

考查要点：本题主要考查柱面表面积的计算，涉及曲面面积元素的推导和对称性应用。

解题核心思路：

1. 参数化柱面：将柱面$x^2 + y^2 = a^2$表示为$y = \sqrt{a^2 - x^2}$，并计算对应的面积元素。
2. 确定积分区域：截断条件$x^2 + z^2 \leq a^2$表明积分区域在$xz$平面上的投影为半径为$a$的圆。
3. 对称性简化：利用坐标系的对称性，计算第一象限内的面积后，总曲面面积为第一象限面积的8倍。

破题关键点：

• 面积元素的推导：通过参数化偏导数的叉积模长得到$dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx \, dz$。
• 积分区域的对称性：将积分范围分解为8个对称部分，简化计算。

参数化与面积元素

将柱面$x^2 + y^2 = a^2$参数化为$y = \sqrt{a^2 - x^2}$，则曲面可表示为$\mathbf{r}(x, z) = (x, \sqrt{a^2 - x^2}, z)$。
计算偏导数：
$\mathbf{r}_x = \left(1, -\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}, 0\right), \quad \mathbf{r}_z = (0, 0, 1)$
叉积模长为：
$\|\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_z\| = \sqrt{\left(-\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\right)^2 + (-1)^2} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}}$
因此，面积元素为：
$dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx \, dz$

积分区域与对称性

截断条件$x^2 + z^2 \leq a^2$表明积分区域$D$在$xz$平面上的投影为半径$a$的圆。
对称性分析：

• 柱面关于$y=0$对称，截断曲面关于$x$和$z$对称。
• 总面积可分解为8个对称部分（第一象限对应$x \geq 0, z \geq 0, y \geq 0$，共8个象限）。

第一象限积分

在第一象限内，积分范围为$x \in [0, a]$，$z \in [0, \sqrt{a^2 - x^2}]$：
$S_{\text{第一象限}} = \int_0^a \int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dz \, dx = \int_0^a \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int_0^a a \, dx = a^2$

总面积计算

总曲面面积为第一象限面积的8倍：
$S_{\text{总}} = 8 \cdot a^2 = 8a^2$