题目
求指导本题解题过程，谢谢您！单选(3分)设∑为半圆柱面 ^2+(y)^2=(R)^2(0leqslant zleqslant 1,xgeqslant 0), 则曲面积分-|||-(iint )_(2)^2(x+y)dS= ()-|||-bigcirc A.0-|||-bigcirc B.R^2-|||-C.2R^2-|||-D. pi (R)^2
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
半圆柱面 ${x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}$，$0\leqslant z\leqslant 1$，$x\geqslant 0$，表示一个半圆柱面，其底面为半圆，半径为R，高为1，且位于$x\geqslant 0$的区域。
步骤 2：转换为极坐标
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dS=rdrd\theta dz$。积分区域变为$0\leqslant r\leqslant R$，$-\frac{\pi}{2}\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$，$0\leqslant z\leqslant 1$。
步骤 3：计算积分
将积分表达式代入极坐标系下的形式，计算积分。
${\iint }_{2}^{2}(x+y)dS={\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta {\int }_{0}^{R}r(\cos\theta+\sin\theta)dr{\int }_{0}^{1}dz$
$={\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta {\int }_{0}^{R}r(\cos\theta+\sin\theta)dr$
$={\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \frac{1}{2}r^{2}(\cos\theta+\sin\theta){|}_{0}^{R}$
$={\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}R^{2}(\cos\theta+\sin\theta)d\theta$
$=\frac{1}{2}R^{2}(\sin\theta-\cos\theta){|}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$
$=\frac{1}{2}R^{2}(2)$
$=R^{2}$
半圆柱面 ${x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}$，$0\leqslant z\leqslant 1$，$x\geqslant 0$，表示一个半圆柱面，其底面为半圆，半径为R，高为1，且位于$x\geqslant 0$的区域。
步骤 2：转换为极坐标
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dS=rdrd\theta dz$。积分区域变为$0\leqslant r\leqslant R$，$-\frac{\pi}{2}\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$，$0\leqslant z\leqslant 1$。
步骤 3：计算积分
将积分表达式代入极坐标系下的形式，计算积分。
${\iint }_{2}^{2}(x+y)dS={\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta {\int }_{0}^{R}r(\cos\theta+\sin\theta)dr{\int }_{0}^{1}dz$
$={\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta {\int }_{0}^{R}r(\cos\theta+\sin\theta)dr$
$={\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \frac{1}{2}r^{2}(\cos\theta+\sin\theta){|}_{0}^{R}$
$={\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}R^{2}(\cos\theta+\sin\theta)d\theta$
$=\frac{1}{2}R^{2}(\sin\theta-\cos\theta){|}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$
$=\frac{1}{2}R^{2}(2)$
$=R^{2}$