20.如果C为正向圆周 |z|=3, 求积分y f(z)dz的值.设f(z)为-|||-(1) dfrac (1)(z(z+2)) ;

步骤 1：确定积分路径和被积函数
给定的积分路径是正向圆周 $|z|=3$，被积函数为 $f(z) = \dfrac{1}{z(z+2)}$。

步骤 2：应用留数定理
留数定理指出，如果函数 $f(z)$ 在一个简单闭合曲线 $C$ 内部除了有限个孤立奇点外是解析的，那么积分 $\oint_C f(z) dz$ 等于 $2\pi i$ 乘以 $f(z)$ 在 $C$ 内部所有奇点的留数之和。

步骤 3：确定奇点并计算留数
函数 $f(z) = \dfrac{1}{z(z+2)}$ 在 $z=0$ 和 $z=-2$ 处有奇点。由于 $|z|=3$，这两个奇点都在积分路径 $C$ 内部。计算这两个奇点的留数：
- 在 $z=0$ 处，留数为 $\lim_{z \to 0} z \cdot \dfrac{1}{z(z+2)} = \lim_{z \to 0} \dfrac{1}{z+2} = \dfrac{1}{2}$。
- 在 $z=-2$ 处，留数为 $\lim_{z \to -2} (z+2) \cdot \dfrac{1}{z(z+2)} = \lim_{z \to -2} \dfrac{1}{z} = -\dfrac{1}{2}$。

步骤 4：计算积分值
根据留数定理，积分 $\oint_C f(z) dz = 2\pi i \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \right) = 2\pi i \cdot 0 = 0$。