lim_(x to 0) (sqrt(1 - sin x) - 1)/(x + x^2) = ______. (答案写成形如 -a/b 的最简分数)

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理0/0型不定式的方法，以及有理化技巧和等价无穷小的运用。

解题核心思路：

1. 有理化处理：通过分子分母同乘以共轭表达式，消除根号差，将分子化简为多项式形式。
2. 等价无穷小替换：利用$\sin x \sim x$（当$x \to 0$时）简化表达式。
3. 极限运算：通过约分和代入求极限。

破题关键点：

• 识别0/0型不定式，选择有理化或洛必达法则。
• 正确展开分子，注意符号变化。
• 分母分解因式，结合等价无穷小替换简化计算。

步骤1：有理化处理
将分子和分母同时乘以$\sqrt{1 - \sin x} + 1$：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \sin x} - 1}{x + x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 - \sin x} - 1)(\sqrt{1 - \sin x} + 1)}{(x + x^2)(\sqrt{1 - \sin x} + 1)} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sin x) - 1}{(x + x^2)(\sqrt{1 - \sin x} + 1)} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{(x + x^2)(\sqrt{1 - \sin x} + 1)}.\end{aligned}$

步骤2：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，且$\sqrt{1 - \sin x} + 1 \to \sqrt{1 - 0} + 1 = 2$，代入得：
$\lim_{x \to 0} \frac{-x}{(x + x^2) \cdot 2}.$

步骤3：化简分母并约分
分母分解为$x(1 + x)$，约去分子分母的$x$：
$\lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x(1 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(1 + x)}.$

步骤4：代入求极限
当$x \to 0$时，$1 + x \to 1$，最终结果为：
$-\frac{1}{2}.$