题目
将下列函数转换为分段函数形式.(1) y = |x| + 1;(2) y = |x - 2|;(3) y = |2x + 2|.根式计算.(1) sqrt((4)/(25));(2) sqrt(11^2 + (4sqrt(3))^2);(3) 3sqrt(2) + 4sqrt((1)/(2)) - (1)/(2)sqrt(2);(4) sqrt(x^2);(5) sqrt(sqrt(sqrt{x))}.
将下列函数转换为分段函数形式. (1) $y = |x| + 1$; (2) $y = |x - 2|$; (3) $y = |2x + 2|$. 根式计算. (1) $\sqrt{\frac{4}{25}}$; (2) $\sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2}$; (3) $3\sqrt{2} + 4\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{2}$; (4) $\sqrt{x^2}$; (5) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$.
题目解答
答案
我们来逐一解决这些题目，先处理**函数的分段表达式**，然后处理**根式计算**。
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## 一、将下列函数转换为分段函数形式
### (1) $ y = |x| + 1 $
绝对值函数 $ |x| $ 的定义是：
$$
|x| =
\begin{cases}
x, & x \geq 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
$$
所以：
$$
y = |x| + 1 =
\begin{cases}
x + 1, & x \geq 0 \\
-x + 1, & x < 0
\end{cases}
$$
---
### (2) $ y = |x - 2| $
绝对值函数 $ |x - 2| $ 的定义是：
$$
|x - 2| =
\begin{cases}
x - 2, & x \geq 2 \\
-(x - 2), & x < 2
\end{cases}
=
\begin{cases}
x - 2, & x \geq 2 \\
2 - x, & x < 2
\end{cases}
$$
所以：
$$
y = |x - 2| =
\begin{cases}
x - 2, & x \geq 2 \\
2 - x, & x < 2
\end{cases}
$$
---
### (3) $ y = |2x + 2| $
绝对值函数 $ |2x + 2| $ 的定义是：
$$
|2x + 2| =
\begin{cases}
2x + 2, & 2x + 2 \geq 0 \\
-(2x + 2), & 2x + 2 < 0
\end{cases}
$$
解不等式 $ 2x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 $
所以：
$$
y = |2x + 2| =
\begin{cases}
2x + 2, & x \geq -1 \\
-2x - 2, & x < -1
\end{cases}
$$
---
## 二、根式计算
### (1) $ \sqrt{\frac{4}{25}} $
$$
\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}
$$
---
### (2) $ \sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2} $
先计算平方：
- $ 11^2 = 121 $
- $ (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 $
所以：
$$
\sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{121 + 48} = \sqrt{169} = 13
$$
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### (3) $ 3\sqrt{2} + 4\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{2} $
先化简 $ \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
所以：
$$
4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
$$
代入原式：
$$
3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} = \left(3 + 2 - \frac{1}{2}\right)\sqrt{2} = \frac{9}{2}\sqrt{2}
$$
---
### (4) $ \sqrt{x^2} $
$$
\sqrt{x^2} = |x|
$$
---
### (5) $ \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} $
我们可以将根号转换为指数形式：
$$
\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{8}}
$$
---
## ✅ 最终答案汇总：
### 一、分段函数
1. $ y = |x| + 1 =
\begin{cases}
x + 1, & x \geq 0 \\
-x + 1, & x < 0
\end{cases} $
2. $ y = |x - 2| =
\begin{cases}
x - 2, & x \geq 2 \\
2 - x, & x < 2
\end{cases} $
3. $ y = |2x + 2| =
\begin{cases}
2x + 2, & x \geq -1 \\
-2x - 2, & x < -1
\end{cases} $
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### 二、根式计算
1. $ \sqrt{\frac{4}{25}} = \boxed{\frac{2}{5}} $
2. $ \sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2} = \boxed{13} $
3. $ 3\sqrt{2} + 4\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{2} = \boxed{\frac{9}{2}\sqrt{2}} $
4. $ \sqrt{x^2} = \boxed{|x|} $
5. $ \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = \boxed{x^{\frac{1}{8}}} $
解析
分段函数转换的关键在于绝对值函数的分段处理。绝对值函数$|A|$的表达式根据$A$的正负分为两种情况：当$A \geq 0$时，$|A|=A$；当$A < 0$时，$|A|=-A$。因此，需要找到绝对值内部表达式为零的点，将函数分成不同区间。
根式计算需注意以下几点：
- 平方根的基本性质：$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；
- 合并同类二次根式：将不同形式的根式化为相同根式后合并系数；
- 根式与绝对值的关系：$\sqrt{x^2} = |x|$；
- 多重根式的指数形式：$\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = x^{\frac{1}{8}}$。
一、分段函数转换
(1) $y = |x| + 1$
- 绝对值内部表达式为$x$，当$x \geq 0$时，$|x| = x$，此时$y = x + 1$；
- 当$x < 0$时，$|x| = -x$，此时$y = -x + 1$。
(2) $y = |x - 2|$
- 绝对值内部表达式为$x - 2$，当$x \geq 2$时，$|x - 2| = x - 2$；
- 当$x < 2$时，$|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$。
(3) $y = |2x + 2|$
- 解方程$2x + 2 = 0$得$x = -1$；
- 当$x \geq -1$时，$|2x + 2| = 2x + 2$；
- 当$x < -1$时，$|2x + 2| = -(2x + 2) = -2x - 2$。
二、根式计算
(1) $\sqrt{\frac{4}{25}}$
- 直接开平方：$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$。
(2) $\sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2}$
- 计算平方：$11^2 = 121$，$(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$；
- 求和后开方：$\sqrt{121 + 48} = \sqrt{169} = 13$。
(3) $3\sqrt{2} + 4\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{2}$
- 化简根式：$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，故$4\sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$；
- 合并同类项：$3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{9}{2}\sqrt{2}$。
(4) $\sqrt{x^2}$
- 根据绝对值定义：$\sqrt{x^2} = |x|$。
(5) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$
- 转换为指数形式：$\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{8}}$。