lim_(n to infty)x_(n)=A,x_(n)为x_(n)子列，lim_(k to infty)x_(k)=A一定成立吗？A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查数列收敛性与子列收敛性的关系，需要理解子列的定义以及数列收敛的性质。

解题核心思路：
根据数列收敛的定义，若原数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $A$，则对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $n \geq N$ 时，所有项都满足 $|x_n - A| < \epsilon$。子列 $\{x_{n_k}\}$ 的下标 $\{n_k\}$ 是严格递增的正整数序列，因此当 $k$ 足够大时，$n_k$ 必然超过 $N$，从而子列的项也会满足 $|x_{n_k} - A| < \epsilon$，即子列必然收敛于 $A$。

破题关键点：

• 子列的下标严格递增，保证了子列的项在原数列中位置足够靠后。
• 原数列的收敛性决定了所有足够靠后的项都接近 $A$，因此子列的项必然继承这一性质。

步骤1：理解数列收敛的定义
若 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$，则对于任意 $\epsilon > 0$，存在自然数 $N$，使得当 $n \geq N$ 时，$|x_n - A| < \epsilon$。

步骤2：分析子列的性质
子列 $\{x_{n_k}\}$ 的下标 $\{n_k\}$ 满足 $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$。由于 $\{n_k\}$ 严格递增，当 $k$ 足够大时，必然存在 $K$，使得当 $k \geq K$ 时，$n_k \geq N$。

步骤3：验证子列的收敛性
对于上述 $K$，当 $k \geq K$ 时，$n_k \geq N$，因此根据原数列的收敛性，有：
$|x_{n_k} - A| < \epsilon$
这表明子列 $\{x_{n_k}\}$ 也满足收敛于 $A$ 的定义，故 $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = A$。