(14)设随机变量X的概率分布为 X=-2 =dfrac (1)(2) , X=1 =a, X=3 =b, 若 =0,-|||-则 = __

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的期望与方差计算，需要结合概率分布的性质（概率和为1）和期望的定义式联立方程求解参数，再利用方差公式计算结果。

解题核心思路：

1. 利用概率和为1：根据所有概率之和为1，建立方程。
2. 利用期望为0：根据期望定义式，建立第二个方程，联立求解参数$a$和$b$。
3. 计算方差：根据方差公式$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，代入已知条件和求得的参数计算。

破题关键点：

• 正确建立方程：注意概率和为1的条件和期望的定义式。
• 准确计算平方项：在计算$E(X^2)$时，需注意各取值的平方与对应概率的乘积之和。

步骤1：确定参数$a$和$b$

根据概率分布的性质，所有概率之和为1：
$\frac{1}{2} + a + b = 1 \quad \Rightarrow \quad a + b = \frac{1}{2} \quad (1)$

根据期望$E(X) = 0$，有：
$(-2) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot a + 3 \cdot b = 0 \quad \Rightarrow \quad -1 + a + 3b = 0 \quad (2)$

联立方程(1)和(2)：

• 用(2)减(1)得：$2b = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1}{4}$
• 代入(1)得：$a = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

步骤2：计算$E(X^2)$

$E(X^2) = (-2)^2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 \cdot \frac{1}{4} + 3^2 \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 9 \cdot \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

步骤3：计算方差$D(X)$

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{9}{2} - 0^2 = \frac{9}{2}$