题目
【题目】设某种晶体管的寿命(单位:小时)是一个随机变量X,它的密度函数为f(x)=100x^(-2)x100;0.(1)试求该种晶体管不能工作150小时的概率;(2)一台仪器中装有4只此种晶体管,试求该仪器工作150小时后至少有1只失效的概率(假定这4只晶体管是否失效是互不影响的)
【题目】设某种晶体管的寿命(单位:小时)是一个随机变量X,它的密度函数为f(x)=100x^(-2)x100;0.(1)试求该种晶体管不能工作150小时的概率;(2)一台仪器中装有4只此种晶体管,试求该仪器工作150小时后至少有1只失效的概率(假定这4只晶体管是否失效是互不影响的)
题目解答
答案
【解析】解（1 P(X150)=∫_100^(150)100x^(-2)dx=1/3(2)方法一该仪器工作150小时后4只晶体管都不失效的概率为(1-1/3)^4 因此至少有一只失效的概率为1-(2/3)^4=(65)/(81) 方法二设Y表示150小时后4只品体管中失效的个数,显然Y∼B(4,1/3) P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(2/3)^4=(65)/(81)事实上方法二就是方法一的随机变量表示
解析
【解析】
步骤 1：计算晶体管不能工作150小时的概率
根据题意，晶体管的寿命X是一个随机变量，其密度函数为f(x)=100x^(-2)。晶体管不能工作150小时的概率即为X大于150的概率，即P(X>150)。根据概率密度函数的定义，这个概率可以通过积分计算得到，即P(X>150)=∫_150^∞f(x)dx=∫_150^∞100x^(-2)dx。
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到P(X>150)=∫_150^∞100x^(-2)dx=100∫_150^∞x^(-2)dx=100[-x^(-1)]_150^∞=100[0-(-1/150)]=1/3。
步骤 3：计算仪器工作150小时后至少有1只失效的概率
一台仪器中装有4只此种晶体管，每只晶体管失效的概率为1/3，不失效的概率为2/3。由于这4只晶体管是否失效是互不影响的，因此可以使用二项分布来计算至少有1只失效的概率。设Y表示150小时后4只晶体管中失效的个数，显然Y∼B(4,1/3)。则P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(2/3)^4=(65)/(81)。
步骤 1：计算晶体管不能工作150小时的概率
根据题意，晶体管的寿命X是一个随机变量，其密度函数为f(x)=100x^(-2)。晶体管不能工作150小时的概率即为X大于150的概率，即P(X>150)。根据概率密度函数的定义，这个概率可以通过积分计算得到，即P(X>150)=∫_150^∞f(x)dx=∫_150^∞100x^(-2)dx。
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到P(X>150)=∫_150^∞100x^(-2)dx=100∫_150^∞x^(-2)dx=100[-x^(-1)]_150^∞=100[0-(-1/150)]=1/3。
步骤 3：计算仪器工作150小时后至少有1只失效的概率
一台仪器中装有4只此种晶体管，每只晶体管失效的概率为1/3，不失效的概率为2/3。由于这4只晶体管是否失效是互不影响的，因此可以使用二项分布来计算至少有1只失效的概率。设Y表示150小时后4只晶体管中失效的个数，显然Y∼B(4,1/3)。则P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(2/3)^4=(65)/(81)。