一、选择题(共6道小题,每小题3分,满分18分)-|||-3.设 =(sin )^2x, 则 ^(n+1)=() .-|||-(A) sin (2x+dfrac (npi )(2)) (B) ^nsin (2x+dfrac (npi )(2))-|||-(C) ^n+1sin (2x+dfrac (npi )(2))-|||-(D) ^nsin (x+dfrac (npi )(2))

考查要点：本题主要考查三角函数的高阶导数求解，特别是利用导数的周期性规律进行推广。

解题核心思路：

1. 化简原函数：利用二倍角公式将$y = \sin^2 x$转化为$\sin 2x$的表达式，简化求导过程。
2. 求导规律：通过观察$\sin 2x$的一阶、二阶导数，总结出高阶导数的通项公式，即每求一次导数，系数乘以$2$，相位增加$\frac{\pi}{2}$。
3. 推广到高阶：结合规律推导出$n+1$阶导数的表达式。

破题关键点：

• 二倍角公式的应用是化简原函数的关键。
• 高阶导数的周期性是解题的核心，需注意系数和相位的变化规律。

步骤1：求一阶导数

原函数为$y = \sin^2 x$，利用二倍角公式$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，可得：
$y' = \frac{d}{dx} (\sin^2 x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x.$

步骤2：分析$\sin 2x$的高阶导数规律

对$\sin 2x$求$n$阶导数，规律如下：

• 一阶导数：$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)$
• 二阶导数：$\frac{d^2}{dx^2} (\sin 2x) = -4 \sin 2x = 2^2 \sin \left(2x + \pi\right)$
• 三阶导数：$\frac{d^3}{dx^3} (\sin 2x) = -8 \cos 2x = 2^3 \sin \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right)$

通项公式：
$\frac{d^n}{dx^n} (\sin 2x) = 2^n \sin \left(2x + \frac{n\pi}{2}\right).$

步骤3：求$y^{(n+1)}$

题目要求$y^{(n+1)}$，即对$y' = \sin 2x$求$n$阶导数：
$y^{(n+1)} = \frac{d^n}{dx^n} (\sin 2x) = 2^n \sin \left(2x + \frac{n\pi}{2}\right).$

选项匹配：

• 选项B：$2^n \sin \left(2x + \frac{n\pi}{2}\right)$，与推导结果一致。