(4)在复平面上,下列关于正弦函数sinz的命题中,错误的是 () .-|||-A.sinz是周期函数 B.sinz是解析函数-|||-C. |sin 2|leqslant 1 D. (sin z)'=cos z

本题考查复变函数中正弦函数的基本性质，需明确以下关键点：

1. 周期性：复变正弦函数保留实数中的周期性，周期仍为$2\pi$；
2. 解析性：复变正弦函数在复平面上处处解析；
3. 模的有界性：与实数情况不同，复变正弦函数的模$|\sin z|$不被1限制，例如当$z$为纯虚数时，$|\sin z|$会随虚部增大而无限增长；
4. 导数性质：复变正弦函数的导数仍为余弦函数，与实数情况一致。

破题关键：选项C的错误在于忽略了复变正弦函数模的无界性。

选项分析

A. $\sin z$是周期函数

复变正弦函数$\sin z$满足$\sin(z + 2\pi) = \sin z$，周期为$2\pi$，正确。

B. $\sin z$是解析函数

$\sin z$可展开为泰勒级数$\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}$，在复平面处处收敛，故解析，正确。

C. $|\sin 2| \leqslant 1$

当$z=2$（实数）时，$|\sin 2| \approx 0.909 \leqslant 1$，但若$z$为纯虚数（如$z=2i$），则$\sin(2i) = i \sinh 2$，其模为$|\sinh 2| \approx 3.626 > 1$。因此$\sin z$的模在复平面上可能超过1，选项C错误。

D. $(\sin z)' = \cos z$

复变函数导数规则与实数一致，正确。