求下列不定积分：int dfrac (x+1)({x)^2+2x+5}dx;

考查要点：本题主要考查不定积分的换元法，特别是第一类换元法（凑微分法）的应用。关键在于观察被积函数的分子与分母的导数之间的关系，从而进行适当的变量替换。

解题核心思路：

1. 识别分母的导数：分母为二次多项式$x^2 + 2x + 5$，其导数为$2x + 2$。
2. 关联分子与导数：分子$x + 1$恰好是分母导数的一半，即$x + 1 = \frac{1}{2}(2x + 2)$。
3. 换元积分：通过替换$u = x^2 + 2x + 5$，将积分转化为$\int \frac{1}{u} du$的形式，直接得到对数函数结果。

步骤1：观察分子与分母的导数关系
分母为$x^2 + 2x + 5$，其导数为$2x + 2$。
分子$x + 1$可表示为$\frac{1}{2}(2x + 2)$，即分子是分母导数的$\frac{1}{2}$倍。

步骤2：换元积分
设$u = x^2 + 2x + 5$，则$du = (2x + 2)dx$，即$\frac{1}{2}du = (x + 1)dx$。
原积分可改写为：
$\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du$

步骤3：计算积分并回代
积分结果为：
$\frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 2x + 5) + C$
由于分母$x^2 + 2x + 5$的判别式为负，其值恒为正，故绝对值符号可省略。