12 lim_(n to infty) (1+2+3+...+(n-1))/(n^2);

考查要点：本题主要考查等差数列求和公式的应用以及数列极限的计算方法。

解题核心思路：

1. 识别分子结构：分子是前$(n-1)$个自然数的和，属于等差数列求和问题。
2. 应用求和公式：利用等差数列求和公式将分子化简为关于$n$的表达式。
3. 化简极限表达式：将分子与分母结合后，通过约分或拆分项，分析$n \to \infty$时的极限值。

破题关键点：

• 正确应用等差数列求和公式，注意项数为$(n-1)$。
• 化简分式时，关注最高次项的系数比，或通过分子分母同除以最高次项$n$简化表达式。

步骤1：计算分子的和
分子为等差数列$1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1)$，根据等差数列求和公式：
$1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{(1 + (n-1)) \cdot (n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.$

步骤2：代入原式并化简
将分子代入原极限表达式：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{2n}.$

步骤3：拆分分子并求极限
将分式拆分为：
$\frac{n-1}{2n} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{n}\right).$
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此极限值为：
$\frac{1}{2} \cdot (1 - 0) = \frac{1}{2}.$