题目
求极限 lim_(x to infty) ( (2x+3)/(2x+1) )^x-1
求极限 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)^{x-1}$
题目解答
答案
我们要求的极限是：
$$
\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)^{x-1}
$$
---
### 第一步：分析结构
这个极限是“$1^\infty$”型的未定式，因为当 $x \to \infty$ 时：
- 分子 $2x+3$ 和分母 $2x+1$ 都趋于无穷，但它们的比值趋于 1：
$$
\frac{2x+3}{2x+1} = \frac{2 + \frac{3}{x}}{2 + \frac{1}{x}} \to \frac{2}{2} = 1
$$
- 指数部分 $x - 1 \to \infty$
所以整体是 $1^\infty$ 型，需要用自然对数和指数变换来处理。
---
### 第二步：取对数，转化为可处理的形式
令：
$$
y = \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)^{x-1}
$$
取自然对数：
$$
\ln y = (x - 1) \ln \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)
$$
我们先求：
$$
\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} (x - 1) \ln \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)
$$
---
### 第三步：化简对数部分
我们有：
$$
\frac{2x+3}{2x+1} = 1 + \frac{2}{2x+1}
$$
因为：
$$
\frac{2x+3}{2x+1} = \frac{(2x+1) + 2}{2x+1} = 1 + \frac{2}{2x+1}
$$
所以：
$$
\ln \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right) = \ln \left( 1 + \frac{2}{2x+1} \right)
$$
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{2}{2x+1} \to 0$，我们可以使用近似公式：
$$
\ln(1 + u) \sim u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots \quad (u \to 0)
$$
取一阶近似：
$$
\ln \left( 1 + \frac{2}{2x+1} \right) \sim \frac{2}{2x+1} \quad (x \to \infty)
$$
因此：
$$
\ln y = (x - 1) \cdot \ln \left( 1 + \frac{2}{2x+1} \right) \sim (x - 1) \cdot \frac{2}{2x+1}
$$
---
### 第四步：计算极限
我们计算：
$$
\lim_{x \to \infty} (x - 1) \cdot \frac{2}{2x+1}
= \lim_{x \to \infty} \frac{2(x - 1)}{2x + 1}
$$
分子分母同除以 $x$：
$$
= \lim_{x \to \infty} \frac{2(1 - \frac{1}{x})}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{2(1 - 0)}{2 + 0} = \frac{2}{2} = 1
$$
所以：
$$
\lim_{x \to \infty} \ln y = 1
$$
因此：
$$
\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{e}
$$
解析
本题考查““$1^\infty$”型未定式极限的求解，解题思路是先判断极限类型，再通过取对数将指数形式转化为乘积形式，利用等价无穷小化简对数部分，最后计算极限并还原。
- **判断极限类型：
- 当$x \to \infty$时，对于$\frac{2x + 3}{2x + 1}$，分子分母同时除以$x$，可得$\frac{2x + 3}{2x + 1}=\frac{2+\frac{3}{x}}{2+\frac{1}{x}}$。
- 根据极限运算法则$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$，则$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{ \frac{2+\frac{3}{x}}{2+\frac{1}{x}}\}=\frac{2 + 0}{2+0}=1}=1$。
- 同时指数部分$x - 1\to\infty$，所以$\lim\limits_{x \to \infty} \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)^{x-1}$是“$1^\infty$型未定式。
2.取对数转化形式： - 令$y = \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)^{x-1}$，两边取自然对数得$\ln y = (x - 1) \ln \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)$。
- 先求$\lim\limits_{x \to \infty} \ln y$，即$\lim\limits_{x \to \infty} (x - 1) \ln \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)$。
3.化简对数部分化简： - 对$\frac{2x+3}{2x+1}$进行变形，$\frac{2x+3}{2x+1}=\frac{(2x + 1)+2}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}$。
- 则$\ln \left( \frac{2x+3}{2x+1} \right)=\ln \left( 1+\frac{2}{2x+1} \right)$。
- 当$x \to \infty$时，$\frac{2}{2x+1}\to0$，根据等价无穷小$\ln(1 + u)\sim u(u\to0)$，这里$u = \frac{2}{2x+1}$，所以$\ln \left( 1+\frac{2}{2x+1} \right)\sim\frac{2}{2x+1}$。
- 那么$\ln y=(x - 1)\cdot\ln \left( 1+\frac{2}{2x+1} \right)\sim(x - 1)\cdot\frac{2}{2x+1}$。
4.计算极限： - 计算$\lim\limits_{x \to \infty}(x - 1)\cdot\frac{2}{2x+1}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2(x - 1)}{2x + 1}$。
- 分子分母同时除以$x$，得到$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2(x - 1)}{2x + 1}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2(1-\frac{1}{x})}{2+\frac{1}{x}}$。
- 再根据极限运算法则$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$，可得$\lim\limits_{x \to\infty}\frac{2(1-\frac{1}{x})}{2+\frac{1}{x}}=\frac{2(1 - 0)}{2+0}=1$。
- 即$\lim\limits_{x \to \infty} \ln y = 1$。
5.还原极限： - 因为$y = e^{\ln y}$，根据复合函数极限运算法则$\lim\limits_{x \to \infty}y=\lim\limits_{x \to \infty}e^{\ln y}=e^{\lim\limits_{x \to \infty}\ln y}$。
- 已知$\lim\limits_{x \to \infty} \ln y = 1$，所以$\lim\limits_{x \to \infty}y = e^1 = e$。