6.将zOx坐标面上的圆x^2+z^2=9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

为了找到由将 $zOx$ 坐标面上的圆 $x^2 + z^2 = 9$ 绕 $z$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程，我们可以按照以下步骤进行： 1. **理解初始圆**：给定的圆 $x^2 + z^2 = 9$ 位于 $zOx$ 平面，其圆心位于原点 $(0, 0, 0)$，半径为 $3$。 2. **旋转绕 $z$ 轴**：当这个圆绕 $z$ 轴旋转时，圆上的每个点将描绘出一个垂直于 $z$ 轴的圆。这意味着在任何给定的 $z$ 高度，旋转曲面上的点将形成一个半径等于原圆在该 $z$ 值的 $x$ 坐标的圆。 3. **在三维中表达半径**：在 $zOx$ 平面上，给定 $z$ 的半径是 $\sqrt{9 - z^2}$。当这个圆绕 $z$ 轴旋转时，该高度 $z$ 处的圆的半径将与 $xy$ 平面上的点 $(x, y)$ 的径向距离相同，即 $\sqrt{x^2 + y^2}$。 4. **建立方程**：由于旋转曲面上任何点 $(x, y, z)$ 的径向距离 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 等于原圆在该 $z$ 值的 $x$ 坐标，我们可以将 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 代入原圆方程中 $x$ 的位置。这给我们： \[ (\sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2 = 9 \] 5. **简化方程**：简化左侧，我们得到： \[ x^2 + y^2 + z^2 = 9 \] 因此，由将 $zOx$ 坐标面上的圆 $x^2 + z^2 = 9$ 绕 $z$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是： \[ \boxed{x^2 + y^2 + z^2 = 9} \] 这个方程表示一个中心位于原点，半径为 $3$ 的球体。