题目
定积分(int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^xsin xdx的值是(int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^xsin xdx(int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^xsin xdx(int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^xsin xdx(int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^xsin xdx(int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^xsin xdx
定积分
的值是
题目解答
答案
分部积分法：
，
因此
对右端的积分再用一次分部积分法。
将右端第二项移到等号左端，除以
。将上下限带入求解，可得出
本题正确答案选
。
解析
步骤 1：应用分部积分法
分部积分法的公式为：$\int u dv = uv - \int v du$。我们选择$u = \sin x$和$dv = e^x dx$，则$du = \cos x dx$和$v = e^x$。因此，原积分可以写为：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = \left. e^x \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\cos xdx$。
步骤 2：再次应用分部积分法
对于${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\cos xdx$，我们再次应用分部积分法，选择$u = \cos x$和$dv = e^x dx$，则$du = -\sin x dx$和$v = e^x$。因此，该积分可以写为：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\cos xdx = \left. e^x \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx$。
步骤 3：合并积分
将步骤 2 的结果代入步骤 1 的结果中，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = \left. e^x \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left( \left. e^x \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx \right)$。
步骤 4：解方程
将步骤 3 的结果整理，得到：
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = \left. e^x \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left. e^x \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$。
步骤 5：计算定积分
计算定积分的值：
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = e^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2} - e^0 \sin 0 - (e^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{\pi}{2} - e^0 \cos 0)$。
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = e^{\frac{\pi}{2}} - 0 - (0 - 1)$。
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = e^{\frac{\pi}{2}} + 1$。
步骤 6：求解原积分
将步骤 5 的结果除以 2，得到原积分的值：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = \frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{2}} + 1)$。
分部积分法的公式为：$\int u dv = uv - \int v du$。我们选择$u = \sin x$和$dv = e^x dx$，则$du = \cos x dx$和$v = e^x$。因此，原积分可以写为：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = \left. e^x \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\cos xdx$。
步骤 2：再次应用分部积分法
对于${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\cos xdx$，我们再次应用分部积分法，选择$u = \cos x$和$dv = e^x dx$，则$du = -\sin x dx$和$v = e^x$。因此，该积分可以写为：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\cos xdx = \left. e^x \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx$。
步骤 3：合并积分
将步骤 2 的结果代入步骤 1 的结果中，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = \left. e^x \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left( \left. e^x \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx \right)$。
步骤 4：解方程
将步骤 3 的结果整理，得到：
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = \left. e^x \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left. e^x \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$。
步骤 5：计算定积分
计算定积分的值：
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = e^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2} - e^0 \sin 0 - (e^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{\pi}{2} - e^0 \cos 0)$。
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = e^{\frac{\pi}{2}} - 0 - (0 - 1)$。
$2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = e^{\frac{\pi}{2}} + 1$。
步骤 6：求解原积分
将步骤 5 的结果除以 2，得到原积分的值：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{x}\sin xdx = \frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{2}} + 1)$。