5.如图 2-4 所示的电缆AOB的长为s,跨度为2l,电缆的最低点O与杆顶连线AB-|||-距离为f,则电缆长可按下面公式计算:-|||-=2l(1+dfrac (2{f)^2}(3{T)^2}),-|||-第二章 导数与微分 77-|||-当f变化了 Delta f 时,电缆长的变化约为多少?-|||-解 =2l(1+dfrac (2{f)^2}(3{l)^2}) Delta sapprox ds=2lcdot dfrac (4f)(3{l)^2}Delta f=dfrac (8f)(3l)Delta f.

考查要点：本题主要考查微分在近似计算中的应用，即利用导数估算函数值的微小变化。关键在于理解如何将实际问题转化为数学表达式，并正确求导。

解题核心思路：

1. 明确变量与常量：题目中，$s$ 是关于 $f$ 的函数，$l$ 是常数。
2. 对公式求导：将 $s$ 对 $f$ 求导，得到 $\dfrac{ds}{df}$。
3. 微分近似：利用 $\Delta s \approx ds = \dfrac{ds}{df} \cdot \Delta f$，代入导数结果即可。

破题关键点：

• 正确识别变量关系，避免混淆 $f$ 和 $l$ 的角色。
• 准确计算导数，注意分数形式的处理。

题目公式修正：
原题公式应为 $s = 2l \left( 1 + \dfrac{2f^2}{3l^2} \right)$（题目中 $T^2$ 应为 $l^2$，否则无法得到答案中的结果）。

步骤分解：

1. 展开公式：
   $s = 2l + \dfrac{4f^2}{3l}$
   （将原式展开，便于求导。）

2. 对 $f$ 求导：
   $\dfrac{ds}{df} = \dfrac{d}{df} \left( 2l + \dfrac{4f^2}{3l} \right) = \dfrac{8f}{3l}$
   （常数项 $2l$ 导数为 $0$，对 $\dfrac{4f^2}{3l}$ 求导后得到 $\dfrac{8f}{3l}$。）

3. 计算微分 $\Delta s$：
   $\Delta s \approx ds = \dfrac{ds}{df} \cdot \Delta f = \dfrac{8f}{3l} \Delta f$
   （将导数与 $\Delta f$ 相乘，得到电缆长度的变化近似值。）