17.(2014安徽,13,★★★)设 neq 0, n是大于1-|||-的自然数, ((1+dfrac {x)(a))}^n 的展开式为 _(0)+(a)_(1)x+(a)_(2)(x)^2+-|||-... +(a)_(n)(x)^n. 若点 _(i)(i,(a)_(i))(i=0,1,2) 的位置如图-|||-所示,则 a= __ .-|||-y-|||-4 A2-|||-3-|||-1.A0 1-|||-1-|||-0 1 2 x

考查要点：本题主要考查二项式定理的应用，以及通过已知系数建立方程求解参数的能力。

解题核心思路：

1. 明确展开式系数：根据二项式定理，展开式$(1+\frac{x}{a})^n$的系数$a_k = C(n,k) \cdot \frac{1}{a^k}$。
2. 提取已知条件：题目中给出点$A_0(0,1)$、$A_1(1,3)$、$A_2(2,4)$，对应$a_0=1$，$a_1=3$，$a_2=4$。
3. 建立方程组：利用$a_1$和$a_2$的表达式，联立方程求解$a$和$n$。

破题关键点：

• 系数与组合数的关系：正确写出$a_1$和$a_2$的表达式是关键。
• 消元法：通过$n=3a$代入第二个方程，消去$n$，解出$a$。

根据二项式定理，展开式$(1+\frac{x}{a})^n$的通项为：
$a_k = C(n,k) \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^k$

已知条件：

• $a_0 = C(n,0) \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^0 = 1$（与题目一致）。
• $a_1 = C(n,1) \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^1 = \frac{n}{a} = 3$。
• $a_2 = C(n,2) \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^2 = \frac{n(n-1)}{2a^2} = 4$。

建立方程组：
$\begin{cases}\frac{n}{a} = 3 \\\frac{n(n-1)}{2a^2} = 4\end{cases}$

解方程：

1. 由第一式得：$n = 3a$。
2. 将$n=3a$代入第二式：
   $\frac{3a(3a-1)}{2a^2} = 4 \implies \frac{9a^2 - 3a}{2a^2} = 4 \implies 9a^2 - 3a = 8a^2 \implies a^2 - 3a = 0$
3. 解得：$a=0$（舍去，因$a \neq 0$）或$a=3$。

验证：
当$a=3$时，$n=3 \times 3 = 9$，代入$a_2$的表达式：
$\frac{9 \times 8}{2 \times 3^2} = \frac{72}{18} = 4$
与题目一致，故$a=3$正确。