问lambda 取何值时，齐次线性方程组}(1-lambda )({x)_(1)}-2({x)_(2)}+4({x)_(3)}=0 2({x)_(1)}+(3-lambda )({x)_(2)}+({x)_(3)}=0 ({x)_(1)}+({x)_(2)}+(1-lambda )({x)_(3)}=0 有非零解?

步骤 1：确定齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式等于零，即$\det(A) = 0$，其中$A$是系数矩阵。

步骤 2：写出系数矩阵
系数矩阵$A$为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1-\lambda & -2 & 4 \\
2 & 3-\lambda & 1 \\
1 & 1 & 1-\lambda
\end{pmatrix}
$$

步骤 3：计算行列式$\det(A)$
计算行列式$\det(A)$，得到：
$$
\det(A) = (1-\lambda)\left[(3-\lambda)(1-\lambda)-1\right] - (-2)\left[2(1-\lambda)-1\right] + 4\left[2-1(3-\lambda)\right]
$$
$$
= (1-\lambda)\left[3-4\lambda+\lambda^2-1\right] + 2\left[2-2\lambda-1\right] + 4\left[2-3+\lambda\right]
$$
$$
= (1-\lambda)\left[\lambda^2-4\lambda+2\right] + 2\left[1-2\lambda\right] + 4\left[-1+\lambda\right]
$$
$$
= (1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+2) + 2(1-2\lambda) + 4(-1+\lambda)
$$
$$
= \lambda^2-4\lambda+2-\lambda^3+4\lambda^2-2\lambda+2-4\lambda-4+4\lambda
$$
$$
= -\lambda^3+5\lambda^2-6\lambda
$$
$$
= -\lambda(\lambda^2-5\lambda+6)
$$
$$
= -\lambda(\lambda-2)(\lambda-3)
$$

步骤 4：求解$\det(A) = 0$
令$\det(A) = 0$，得到：
$$
-\lambda(\lambda-2)(\lambda-3) = 0
$$
解得$\lambda = 0$，$\lambda = 2$，$\lambda = 3$。