题目
3.已知甲袋中装有6个红球,4个白球;乙袋中装有7个红球,3个白球;丙袋有5个红球,5个白球.(1)随机地取一袋,再从该袋中随机地取一个球,求该球是红球的概率;(2)已知取出的是红球,求该球是取自甲袋的概率.
3.已知甲袋中装有6个红球,4个白球;乙袋中装有7个红球,3个白球;丙袋有5个红球,5个白球.(1)随机地取一袋,再从该袋中随机地取一个球,求该球是红球的概率;(2)已知取出的是红球,求该球是取自甲袋的概率.
题目解答
答案
本题考查了概率的计算，属于基础题。
(1)设$A_1,A_2,A_3$分别表示“取到甲、乙、丙口袋”，$B$表示“取到红球”，则$P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}$，$P(B|A_1)=\frac{6}{10}$，$P(B|A_2)=\frac{7}{10}$，$P(B|A_3)=\frac{5}{10}$，由全概率公式得$P(B)=\sum\limits_{i=1}^{3} P(A_i)P(B|A_i)=\frac{1}{3}(\frac{6}{10} +\frac{7}{10} +\frac{5}{10} )=\frac{18}{30} =\frac{3}{5}$.
(2)由贝叶斯公式得$P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}\times \frac{6}{10} }{\frac{3}{5} }=\frac{1}{3}$.
解析
步骤 1：定义事件
设$A_1,A_2,A_3$分别表示“取到甲、乙、丙口袋”，$B$表示“取到红球”。
步骤 2：计算各事件的概率
$P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}$，$P(B|A_1)=\frac{6}{10}$，$P(B|A_2)=\frac{7}{10}$，$P(B|A_3)=\frac{5}{10}$。
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式得$P(B)=\sum\limits_{i=1}^{3} P(A_i)P(B|A_i)=\frac{1}{3}(\frac{6}{10} +\frac{7}{10} +\frac{5}{10} )=\frac{18}{30} =\frac{3}{5}$。
步骤 4：应用贝叶斯公式
由贝叶斯公式得$P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}\times \frac{6}{10} }{\frac{3}{5} }=\frac{1}{3}$。
设$A_1,A_2,A_3$分别表示“取到甲、乙、丙口袋”，$B$表示“取到红球”。
步骤 2：计算各事件的概率
$P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}$，$P(B|A_1)=\frac{6}{10}$，$P(B|A_2)=\frac{7}{10}$，$P(B|A_3)=\frac{5}{10}$。
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式得$P(B)=\sum\limits_{i=1}^{3} P(A_i)P(B|A_i)=\frac{1}{3}(\frac{6}{10} +\frac{7}{10} +\frac{5}{10} )=\frac{18}{30} =\frac{3}{5}$。
步骤 4：应用贝叶斯公式
由贝叶斯公式得$P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}\times \frac{6}{10} }{\frac{3}{5} }=\frac{1}{3}$。