【例25】(2017,数二、三)求极限lim_(xto0^+)(int_(0)^xsqrt(x-t)e^tdt)/(sqrt(x^3))

为了求解极限 $\lim_{x\to0^{+}}\frac{\int_{0}^{x}\sqrt{x-t}e^{t}dt}{\sqrt{x^{3}}}$，我们首先使用洛必达法则。由于当 $x \to 0^+$ 时，分子 $\int_{0}^{x}\sqrt{x-t}e^{t}dt$ 和分母 $\sqrt{x^3}$ 都 tends to 0，因此可以应用洛必达法则。 洛必达法则 states: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} \] 首先，我们找到分子 $f(x) = \int_{0}^{x}\sqrt{x-t}e^{t}dt$ 的导数 $f'(x)$。根据 Leibniz 积分法则，对于 $f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(x, t) \, dt$，其导数为: \[ f'(x) = g(x, b(x)) \cdot b'(x) - g(x, a(x)) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} g(x, t) \, dt \] 在我们的问题中， $a(x) = 0$, $b(x) = x$, $g(x, t) = \sqrt{x-t}e^t$。因此: \[ f'(x) = \sqrt{x-x}e^x \cdot 1 - \sqrt{x-0}e^0 \cdot 0 + \int_{0}^{x} \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x-t}e^t \, dt \] 简化后: \[ f'(x) = 0 + 0 + \int_{0}^{x} \frac{e^t}{2\sqrt{x-t}} \, dt = \int_{0}^{x} \frac{e^t}{2\sqrt{x-t}} \, dt \] 接下来，我们找到分母 $g(x) = \sqrt{x^3}$ 的导数 $g'(x)$: \[ g(x) = x^{3/2} \implies g'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{3}{2} \sqrt{x} \] 现在，应用洛必达法则: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x-t} e^t \, dt}{\sqrt{x^3}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_{0}^{x} \frac{e^t}{2\sqrt{x-t}} \, dt}{\frac{3}{2} \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3} \cdot \frac{\int_{0}^{x} \frac{e^t}{\sqrt{x-t}} \, dt}{\sqrt{x}} \] 为了进一步简化，我们使用换元 $u = \frac{t}{x}$。当 $t = 0$ 时， $u = 0$；当 $t = x$ 时， $u = 1$。因此: \[ \int_{0}^{x} \frac{e^t}{\sqrt{x-t}} \, dt = \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{x - xu}} \cdot x \, du = \sqrt{x} \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{1 - u}} \, du \] 代入极限: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{x} \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{1 - u}} \, du}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{1 - u}} \, du \] 当 $x \to 0^+$ 时， $e^{xu} \to 1$，因此: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{e^{xu}}{\sqrt{1 - u}} \, du = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - u}} \, du \] 计算积分: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - u}} \, du = \left[ -2\sqrt{1 - u} \right]_{0}^{1} = -2\sqrt{0} + 2\sqrt{1} = 2 \] 因此: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - u}} \, du = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3} \] 最终答案: \[ \boxed{\frac{2}{3}} \]