题目
从下列选项中,选出曲线积分int_(L)ydx+xdy的值,其中L为圆周x=Rcos t,y=Rsin t上对应从t=0到t=(pi)/(2)的一段弧.A. (R^2)/(2)B. -(R^2)/(2)C. 0D. 1
从下列选项中,选出曲线积分$\int_{L}ydx+xdy$的值,其中L为圆周$x=R\cos t,y=R\sin t$上对应从$t=0$到$t=\frac{\pi}{2}$的一段弧.
A. $\frac{R^2}{2}$
B. $-\frac{R^2}{2}$
C. $0$
D. $1$
题目解答
答案
C. $0$
解析
步骤 1：参数化曲线
将曲线 $L$ 参数化为 $x = R \cos t$, $y = R \sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：计算微分
计算微分得 $dx = -R \sin t \, dt$, $dy = R \cos t \, dt$。
步骤 3：代入积分
代入积分： \[ \int_{L} y \, dx + x \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( R \sin t \cdot (-R \sin t) + R \cos t \cdot R \cos t \right) \, dt = R^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt. \]
步骤 4：计算积分
利用 $\cos 2t$ 的原函数为 $\frac{1}{2} \sin 2t$，计算得： \[ R^2 \left[ \frac{1}{2} \sin 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = R^2 \left( \frac{1}{2} \sin \pi - \frac{1}{2} \sin 0 \right) = 0. \]
将曲线 $L$ 参数化为 $x = R \cos t$, $y = R \sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：计算微分
计算微分得 $dx = -R \sin t \, dt$, $dy = R \cos t \, dt$。
步骤 3：代入积分
代入积分： \[ \int_{L} y \, dx + x \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( R \sin t \cdot (-R \sin t) + R \cos t \cdot R \cos t \right) \, dt = R^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt. \]
步骤 4：计算积分
利用 $\cos 2t$ 的原函数为 $\frac{1}{2} \sin 2t$，计算得： \[ R^2 \left[ \frac{1}{2} \sin 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = R^2 \left( \frac{1}{2} \sin \pi - \frac{1}{2} \sin 0 \right) = 0. \]