1、计算二重积分I=iintlimits_(D)(x^2)/(y^2)dsigma，其中D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.

本题考查二重积分的计算，解题思路是先确定积分区域 $D$ 的范围，然后将二重积分化为累次积分进行计算。

1. 确定积分区域 $D$ 的范围：
   • 首先求直线 $y = x$ 与曲线 $xy = 1$ 的交点，联立方程 $\begin{cases}y = x\\xy = 1\end{cases}$，将 $y = x$ 代入 $xy = 1$ 得 $x^2 = 1$，解得 $x = 1$ 或 $x=-1$，因为区域在第一象限，所以取 $x = 1$，此时 $y = 1$，交点为 $(1,1)$。
   • 求直线 $x = 2$ 与直线 $y = x$ 的交点，联立方程 $\begin{cases}x = 2\\y = x\end{cases}$，可得交点为 $(2,2)$。
   • 求直线 $x = 2$ 与曲线 $xy = 1$ 的交点，联立方程 $\begin{cases}x = 2\\xy = 1\end{cases}$，将 $x = 2$ 代入 $xy = 1$ 得 $2y = 1$，解得 $y=\frac{1}{2}$，交点为 $(2,\frac{1}{2})$。
   • 由此可知，积分区域 $D$ 中 $x$ 的范围是 $1\leq x\leq 2$，对于每个固定的 $x$，$y$ 的范围是从曲线 $y=\frac{1}{x}$ 到直线 $y = x$，即 $\frac{1}{x}\leq y\leq x$。
2. 将二重积分化为累次积分：
   根据上述积分区域的范围，二重积分 $I=\iint\limits_{D}\frac{x^{2}}{y^{2}}d\sigma$ 可化为累次积分 $I = \int_{1}^{2}dx\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{x^{2}}{y^{2}}dy$。
3. 计算内积分：
   先对 $y$ 积分，$\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{x^{2}}{y^{2}}dy$，因为 $\frac{x^{2}}{y^{2}}=x^{2}y^{-2}$，根据积分公式 $\int y^{n}dy=\frac{y^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
   $\int_{\frac{1}{x}}^{x}x^{2}y^{-2}dy=x^{2}\int_{\frac{1}{x}}^{x}y^{-2}dy=x^{2}\left[-\frac{1}{y}\right]_{\frac{1}{x}}^{x}$
   将积分上下限代入得：$x^{2}\left(-\frac{1}{x}-\left(-x\right)\right)=x^{2}\left(-\frac{1}{x}+x\right)=x^{3}-x$。
4. 计算外积分：
   再对 $x$ 积分，$\int_{1}^{2}(x^{3}-x)dx$，根据积分公式 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得：
   $\int_{1}^{2}(x^{3}-x)dx=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}$
   将积分上下限代入得：$\left(\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{2}}{2}\right)-\left(\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{2}}{2}\right)$
   $=(4 - 2)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)=2-\left(-\frac{1}{4}\right)=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$。