题目

1.求解下歹刂方程:-|||-(1) '=dfrac (1)(2x') (这里 '=dfrac (dx)(dt) ,''=dfrac ({d)^2x}(d{t)^2} ,以下同);

题目解答

答案

解析

本题主要考查通过变量替换对方程进行降阶求解的知识点。原方程为$x''=\frac{1}{2x'}$，这是是一个不显含$或可转化为不显含)自变量\(t$的二阶微分方程，适合用降阶法求解。

详细步骤：

  1. 变量替换降阶
    令$y = x'$（即$y=\frac{dx}{dt}$），则$x''=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=y\frac{dy}{dx}$。代入原方程得：
    $y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y} \quad\Rightarrow\quad 2y^2dy=dx$

  2. **积分求解$y$与\(工具)** 对等式两边积分： $\int 2y^2dy=\int dx\quad\Rightarrow\Rightarrow\quad \frac{2}{3}y^3=x+C_1\quad\Rightarrow\quad y^3=\frac{3}{2}{2}(x+C_1)\quad\Rightarrow\quad y=\sqrt[3]{\frac{3}{2}(x+C_1)}$ （$C_1$为积分常数）

  3. 再次积分求$x(t)$
    由$y=\frac{dx}{dt}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}(x+C_1)}$，分离变量：
    $dt=\=\frac{dx}{\sqrt[3]{\frac{3}{2}(x+C_1)}}=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}(x+C_1)^{-1/3}dx$
    积分得：
    $t=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\cdot\frac{3}{2}(x+C_1)^{2/3}+C_2=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}(x+C_1)^{2/3}+C_2 \quad\Rightarrow\quad (xxx+C_1)^{2/3}=\frac{2}{\sqrt[3]{4}}(t-C_2)$
    两边立方后整理：
    $(x+C_1)^2=\left(\frac{2}{\sqrt[3]{4}}\right)^3(t-C_2)^3=\frac{8}{4}(t-C_2)^3=2(t-C_2)^3$
    为简化常数，令$C=C_1$，$C\=C_2$，则：
    $(x+C)^2=2(t+\overline{C})^3\quad\Rightarrow\quad 9(x+C)^2=4(t+\overline{C})^3$
    （两边同乘4/2=2，得$9(x+C)^2=4(t+\overline{C})^3$，与答案形式一致）