题目

求极限lim _(xarrow 2)dfrac (x-2)(sqrt {2x-3)-1}-|||-__.

求极限 $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x-2}{\sqrt{2x-3}-1}$ .

题目解答

答案

由题知极限 $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x-2}{\sqrt{2x-3}-1}$ ，

同时对分子分母乘 $\sqrt{2x-3}+1$ ，

且 $\lim_{x\rightarrow2}\sqrt{2x-3}+1=1+1=2$

所以

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x-2}{\sqrt{2x-3}-1}$ $=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(\sqrt{2x-3}+1\right)}{\left(\sqrt{2x-3}-1\right)\left(\sqrt{2x-3}+1\right)}$

$=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(\sqrt{2x-3}+1\right)}{2x-3-1}$

$=2\lim_{_{x\rightarrow2}}\frac{\left(x-2\right)}{2\left(x-2\right)}=2\times\frac{1}{2}=1$

故答案为 $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x-2}{\sqrt{2x-3}-1}=1$ 。

解析

步骤 1：分子分母同乘以$\sqrt {2x-3}+1$
为了消除分母中的根号，我们采用有理化的方法，即分子分母同时乘以$\sqrt {2x-3}+1$。
步骤 2：化简表达式
分子变为$(x-2)(\sqrt {2x-3}+1)$，分母变为$(\sqrt {2x-3}-1)(\sqrt {2x-3}+1)$，利用平方差公式化简分母。
步骤 3：计算极限
将化简后的表达式代入$x=2$，计算极限值。