题目
求曲线 ) y=2(x)^3 z=x+3 .处的切线及法平面方程
求曲线
在点
处的切线及法平面方程
题目解答
答案
将所给方程的两边对x求导得
代入点得
从而方向向量为：
切线方程为：
法平面方程为：
即：
解析
步骤 1：求导
对给定的曲线方程$\left \{ \begin{matrix} y=2{x}^{3}\\ z=x+3\end{matrix} \right.$，分别对$x$求导，得到$\dfrac {dy}{dx}=6x$和$\dfrac {dz}{dx}=1$。
步骤 2：求切线方向向量
将点M(1,2,4)代入导数表达式，得到$\dfrac {dy}{dx}|_{(1,2,4)}=6$和$\dfrac {dz}{dx}|_{(1,2,4)}=1$。因此，切线的方向向量为$(1,6,1)$。
步骤 3：求切线方程
利用点M(1,2,4)和方向向量$(1,6,1)$，可以写出切线方程为$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-2}{6}=\dfrac {z-4}{1}$。
步骤 4：求法平面方程
法平面方程可以通过点M(1,2,4)和切线方向向量$(1,6,1)$来确定。法平面方程为$(x-1)+6(y-2)+(z-4)=0$，化简后得到$x+6y+z-17=0$。
对给定的曲线方程$\left \{ \begin{matrix} y=2{x}^{3}\\ z=x+3\end{matrix} \right.$，分别对$x$求导，得到$\dfrac {dy}{dx}=6x$和$\dfrac {dz}{dx}=1$。
步骤 2：求切线方向向量
将点M(1,2,4)代入导数表达式，得到$\dfrac {dy}{dx}|_{(1,2,4)}=6$和$\dfrac {dz}{dx}|_{(1,2,4)}=1$。因此，切线的方向向量为$(1,6,1)$。
步骤 3：求切线方程
利用点M(1,2,4)和方向向量$(1,6,1)$，可以写出切线方程为$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-2}{6}=\dfrac {z-4}{1}$。
步骤 4：求法平面方程
法平面方程可以通过点M(1,2,4)和切线方向向量$(1,6,1)$来确定。法平面方程为$(x-1)+6(y-2)+(z-4)=0$，化简后得到$x+6y+z-17=0$。