题目
某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为t/2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以h计），求（1）某一天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率；（2）某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。
某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为t/2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以h计），求
（1）某一天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率；
（2）某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。
题目解答
答案
根据题目描述，紧急呼救的次数X服从参数为t/2的泊松分布。我们需要根据提供的时间间隔和参数，回答两个问题。
(1) 某一天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率。
根据题目，时间间隔为12点至15点，即3个小时，记为t=3。参数λ为t/2，即λ=3/2=1.5。
泊松分布的概率质量函数为P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
在这种情况下，未收到紧急呼救表示X=0，我们需要计算P(X=0)。
P(X=0) = (e^(-λ) * λ^0) / 0! = e^(-1.5)
所以，某一天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率为 e^(-1.5)。
(2) 某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。
根据题目，时间间隔为12点至17点，即5个小时，记为t=5。参数λ为t/2，即λ=5/2=2.5。
我们需要计算至少收到1次紧急呼救的概率，即P(X≥1)。
P(X≥1) = 1 - P(X=0)
已经计算过P(X=0)为 e^(-1.5)，所以，
P(X≥1) = 1 - e^(-1.5)
这就是某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。
解析
步骤 1：确定时间间隔和参数
根据题目描述，紧急呼救的次数X服从参数为t/2的泊松分布。对于第一个问题，时间间隔为12点至15点，即3个小时，记为t=3。参数λ为t/2，即λ=3/2=1.5。对于第二个问题，时间间隔为12点至17点，即5个小时，记为t=5。参数λ为t/2，即λ=5/2=2.5。
步骤 2：计算未收到紧急呼救的概率
泊松分布的概率质量函数为P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!。对于第一个问题，未收到紧急呼救表示X=0，我们需要计算P(X=0)。P(X=0) = (e^(-λ) * λ^0) / 0! = e^(-1.5)。所以，某一天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率为 e^(-1.5)。
步骤 3：计算至少收到1次紧急呼救的概率
对于第二个问题，我们需要计算至少收到1次紧急呼救的概率，即P(X≥1)。P(X≥1) = 1 - P(X=0)。已经计算过P(X=0)为 e^(-1.5)，所以，P(X≥1) = 1 - e^(-1.5)。这就是某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。
根据题目描述，紧急呼救的次数X服从参数为t/2的泊松分布。对于第一个问题，时间间隔为12点至15点，即3个小时，记为t=3。参数λ为t/2，即λ=3/2=1.5。对于第二个问题，时间间隔为12点至17点，即5个小时，记为t=5。参数λ为t/2，即λ=5/2=2.5。
步骤 2：计算未收到紧急呼救的概率
泊松分布的概率质量函数为P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!。对于第一个问题，未收到紧急呼救表示X=0，我们需要计算P(X=0)。P(X=0) = (e^(-λ) * λ^0) / 0! = e^(-1.5)。所以，某一天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率为 e^(-1.5)。
步骤 3：计算至少收到1次紧急呼救的概率
对于第二个问题，我们需要计算至少收到1次紧急呼救的概率，即P(X≥1)。P(X≥1) = 1 - P(X=0)。已经计算过P(X=0)为 e^(-1.5)，所以，P(X≥1) = 1 - e^(-1.5)。这就是某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。